Численное решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций

Пояснения к работе

При проектировании и эксплуатации электроэнергетических систем необходимо решать различные технологические задачи. При этом необходимо:

1) выбрать математическую модель исследуемого объекта;

2) составить соответствующие системы уравнений, задать значения коэффициентов, начальные и граничные условия;

3) выполнить решение систем уравнений;

4) провести анализ полученного решения;

5) разработать технологические мероприятия или принять инженерные решения.

В настоящих указаниях рассматриваются варианты выполнения третьего этапа, в частности методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является наиболее распространенной подзадачей при решении многих инженерных задач.

Далее будем полагать, что СЛАУ задана в форме

(1)

или в общем виде

.(2)

Полезно использовать матричную форму записи

A×x = b, (3)

где x = - вектор искомых неизвестных размерности n;

А = - матрица коэффициентов при неизвестных размерности n ´ n;

b = - вектор свободных членов СЛАУ размерности n.

Существуют два типа методов численного решения СЛАУ - прямые и итерационные.

Прямые методы основаны на приведении систем общего вида к специальной форме - диагональной, треугольной и т.п., позволяющей достаточно просто получить решение. Прямые методы требуют для получения решения (или заключения об отсутствии решения) выполнения точно определенного числа действий, зависящего только от порядка системы и структуры матрицы коэффициентов при неизвестных. Прямые численные методы позволяют получить точное решение при отсутствии ошибок округления. Наиболее распространенный метод данного типа - метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

Итерационные методы позволяют найти с заданной точностью лишь приближенное решение системы путем последовательного построения приближений (итераций), начиная с некоторого заданного пользователем начального приближения. Нельзя заранее определить число необходимых операций. Наиболее распространенным является метод ускоренной итерации (Зейделя).

Говорят, что итерационный процесс сходится, если последовательность получаемых в ходе расчета приближений монотонно стремится к точному решению системы. В процессе расчета последовательность новых приближений не всегда сходится к решению системы!

Системы нелинейных уравнений представляют в виде приравненной нулю вектор-функции

=0. (4)

Решение систем нелинейных уравнений выполняют численными итерационными методами.

Широко распространен метод последовательных приближений, который можно использовать, если элементы вектор-функции можно привести к виду

. (5)

Алгоритм решения в принципе совпадает с рассмотренным ниже алгоритмом решения СЛАУ методом ускоренной итерации.

В большинстве современных промышленных программ, предназначенных для решения технологических задач электроэнергетики, используют различные модификации метода Ньютона.

Для решения систем дифференциальных уравнений предназначены методы численного интегрирования. Решение сводят, как правило, к решению задачи Коши: найти на интервале времени tÎ[T₀,T] решение дифференциального уравнения

(6)

при заданных начальных условиях t(0)=T₀ , y(0)=y0.

В результате решения данной задачи получают в форме графика или таблицы значения функции y(t).

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: