ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Решение дифференциальных уравнений методом ЭйлераМетод численного интегрирования Эйлера предназначен для решения задачи Коши: найти на интервале времени tÎ[T0,T] решение дифференциального уравнения
(18)
при заданных начальных условиях: t(0)=T0 , y(0)=y0. В результате решения данной задачи получают в форме графика или таблицы значения функции y(t). Метод Эйлера является дискретным, т.е. таким, посредством которого вычисляется последовательность приближенных значений на множестве точек tk+1=tk+h, k=0,1,2..., принадлежащих заданному интервалу времени. Здесь h - заданная пользователем величина шага численного интегрирования. Геометрическая интерпретация численного интегрирования методом Эйлера приведена на рис. 1.
Рис. 2.
Участок искомой неизвестной функции y(t) “заменяют” касательной к нему прямой (линеаризация функции в окрестности заданной точки). По известным значениям y0, h и вычисленному значению производной, определяющей наклон касательной, можно из треугольника ABC определить значение приращенияфункции D y0 = y1 – y0 =h f(y0,Т0) на отрезке времени длины h. Тогда значение y1 для момента времени t1 =T0+h можно определить по формуле . (19)
Полученное значение можно использовать для вычисления по аналогичной формуле значения функции в точке t2=T0+2h=t1+h и т.д. пока не будет достигнут конец заданного интервала интегрирования. В общем случае расчетная формула метода Эйлера имеет вид
. (20)
Очевидно, что чем меньше величина h, тем ближе полученное значение yk+1 к точному значению неизвестного точного решения y(tk+1). Абсолютная погрешность выполнения шага численного интегрирования не может быть определена, известно лишь что она для данного метода прямо пропорциональна величине h. В связи с этим разработаны различные процедуры получения оценки локальной погрешности на шаге численного интегрирования, требующие, очевидно, увеличения объема вычислений. Наиболее простая, достаточно надежная, но не очень эффективная с точки зрения вычислительных затрат процедура оценки точности расчета заключается в следующем: 1.Выполняют один шаг интегрирования величины h, получают значение yk+1 для t=t k+1. 2. Из той же начальной точки выполняют два шага интегрирования и определяют значение для момента времени t=t k+1. 3.По разности двух значений, полученных с абсолютной погрешностью, отличающейся вдвое, можно вычислить приближенную оценку D локальной погрешности на k -ом шаге интегрирования:
(21) где p - порядок точности метода численного интегрирования, для метода Эйлера p=1. 4.Если оценка локальной погрешности D больше, чем желаемая пользователем точность расчета e, то величину шага интегрирования необходимо уменьшить и продолжить расчет с новым значением h. Очевидно, что неудачный шаг должен быть повторен из той же исходной точки. Иногда для определения приемлемого значения h необходимо выполнить 2¸3 подобных итерации.
Для выбора величины шага можно использовать формулу , (22) где a - коэффициент запаса, значение которого обычно выбирают из диапазона значений 0.5¸ 0..9. Эту формулу полезно использовать на каждом шаге и в том случае, когда текущая оценка погрешности удовлетворяет заданной точности. При этом возможно будет рекомендовано большее значение h, что позволит сократить общее число необходимых шагов интегрирования. В случае решения систем дифференциальных уравнений вычисления выполняются по аналогичным формулам. Однако выбор шага осуществляют по наибольшему значению оценки погрешности D.
Задания: 1.Выполнить решение системы дифференциальных уравнений второго порядка методом Эйлера с оценкой погрешности и выбором величины шага интегрирования “вручную” ограничив объем вычислений тремя полными шагами. Построить график изменения функции y(t). 2.Используя программу для расчета на ПЭВМ выполнить трижды численное интегрирование системы дифференциальных уравнений с фиксированным шагом, принимая его значение равным h, 2h, 4h. Построить три расчетных графика изменения функции и сравнить полученные решения.
Варианты исходных данных приведены в табл.1.
Таблица 1 Варианты исходных данных
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|