Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера

Метод численного интегрирования Эйлера предназначен для решения задачи Коши: найти на интервале времени tÎ[T₀,T] решение дифференциального уравнения

(18)

при заданных начальных условиях: t(0)=T₀ , y(0)=y0.

В результате решения данной задачи получают в форме графика или таблицы значения функции y(t).

Метод Эйлера является дискретным, т.е. таким, посредством которого вычисляется последовательность приближенных значений на множестве точек tk+1=tk+h, k=0,1,2..., принадлежащих заданному интервалу времени. Здесь h - заданная пользователем величина шага численного интегрирования.

Геометрическая интерпретация численного интегрирования методом Эйлера приведена на рис. 1.

Рис. 2.

Участок искомой неизвестной функции y(t) “заменяют” касательной к нему прямой (линеаризация функции в окрестности заданной точки). По известным значениям y₀, h и вычисленному значению производной, определяющей наклон касательной, можно из треугольника ABC определить значение приращенияфункции D y₀ = y₁ ­– y₀ =h f(y₀,Т₀) на отрезке времени длины h.

Тогда значение y₁ для момента времени t₁ =T₀+h можно определить по формуле

. (19)

Полученное значение можно использовать для вычисления по аналогичной формуле значения функции в точке t₂=T₀+2h=t₁+h и т.д. пока не будет достигнут конец заданного интервала интегрирования.

В общем случае расчетная формула метода Эйлера имеет вид

. (20)

Очевидно, что чем меньше величина h, тем ближе полученное значение y_k+1 к точному значению неизвестного точного решения y(t_k+1). Абсолютная погрешность выполнения шага численного интегрирования не может быть определена, известно лишь что она для данного метода прямо пропорциональна величине h.

В связи с этим разработаны различные процедуры получения оценки локальной погрешности на шаге численного интегрирования, требующие, очевидно, увеличения объема вычислений.

Наиболее простая, достаточно надежная, но не очень эффективная с точки зрения вычислительных затрат процедура оценки точности расчета заключается в следующем:

1.Выполняют один шаг интегрирования величины h, получают значение y_k+1 для t=t _k+1.

2. Из той же начальной точки выполняют два шага интегрирования и определяют значение для момента времени t=t _k+1.

3.По разности двух значений, полученных с абсолютной погрешностью, отличающейся вдвое, можно вычислить приближенную оценку D локальной погрешности на k -ом шаге интегрирования:

(21)

где p - порядок точности метода численного интегрирования, для метода Эйлера p=1.

4.Если оценка локальной погрешности D больше, чем желаемая пользователем точность расчета e, то величину шага интегрирования необходимо уменьшить и продолжить расчет с новым значением h. Очевидно, что неудачный шаг должен быть повторен из той же исходной точки. Иногда для определения приемлемого значения h необходимо выполнить 2¸3 подобных итерации.

Для выбора величины шага можно использовать формулу

, (22)

где a - коэффициент запаса, значение которого обычно выбирают из диапазона значений 0.5¸ 0..9.

Эту формулу полезно использовать на каждом шаге и в том случае, когда текущая оценка погрешности удовлетворяет заданной точности. При этом возможно будет рекомендовано большее значение h, что позволит сократить общее число необходимых шагов интегрирования.

В случае решения систем дифференциальных уравнений вычисления выполняются по аналогичным формулам. Однако выбор шага осуществляют по наибольшему значению оценки погрешности D.

Задания:

1.Выполнить решение системы дифференциальных уравнений второго порядка методом Эйлера с оценкой погрешности и выбором величины шага интегрирования “вручную” ограничив объем вычислений тремя полными шагами. Построить график изменения функции y(t).

2.Используя программу для расчета на ПЭВМ выполнить трижды численное интегрирование системы дифференциальных уравнений с фиксированным шагом, принимая его значение равным h, 2h, 4h. Построить три расчетных графика изменения функции и сравнить полученные решения.

Варианты исходных данных приведены в табл.1.

Таблица 1

Варианты исходных данных

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: