Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера




Метод численного интегрирования Эйлера предназначен для решения задачи Коши: найти на интервале времени tÎ[T0,T] решение дифференциального уравнения

 

(18)

 

при заданных начальных условиях: t(0)=T0 , y(0)=y0.

В результате решения данной задачи получают в форме графика или таблицы значения функции y(t).

Метод Эйлера является дискретным, т.е. таким, посредством которого вычисляется последовательность приближенных значений на множестве точек tk+1=tk+h, k=0,1,2..., принадлежащих заданному интервалу времени. Здесь h - заданная пользователем величина шага численного интегрирования.

Геометрическая интерпретация численного интегрирования методом Эйлера приведена на рис. 1.

 

Рис. 2.

 

Участок искомой неизвестной функции y(t) “заменяют” касательной к нему прямой (линеаризация функции в окрестности заданной точки). По известным значениям y0, h и вычисленному значению производной, определяющей наклон касательной, можно из треугольника ABC определить значение приращенияфункции D y0 = y1 ­– y0 =h f(y00) на отрезке времени длины h.

Тогда значение y1 для момента времени t1 =T0+h можно определить по формуле

. (19)

 

Полученное значение можно использовать для вычисления по аналогичной формуле значения функции в точке t2=T0+2h=t1+h и т.д. пока не будет достигнут конец заданного интервала интегрирования.

В общем случае расчетная формула метода Эйлера имеет вид

 

. (20)

 

Очевидно, что чем меньше величина h, тем ближе полученное значение yk+1 к точному значению неизвестного точного решения y(tk+1). Абсолютная погрешность выполнения шага численного интегрирования не может быть определена, известно лишь что она для данного метода прямо пропорциональна величине h.

В связи с этим разработаны различные процедуры получения оценки локальной погрешности на шаге численного интегрирования, требующие, очевидно, увеличения объема вычислений.

Наиболее простая, достаточно надежная, но не очень эффективная с точки зрения вычислительных затрат процедура оценки точности расчета заключается в следующем:

1.Выполняют один шаг интегрирования величины h, получают значение yk+1 для t=t k+1.

2. Из той же начальной точки выполняют два шага интегрирования и определяют значение для момента времени t=t k+1.

3.По разности двух значений, полученных с абсолютной погрешностью, отличающейся вдвое, можно вычислить приближенную оценку D локальной погрешности на k -ом шаге интегрирования:

 

(21)

где p - порядок точности метода численного интегрирования, для метода Эйлера p=1.

4.Если оценка локальной погрешности D больше, чем желаемая пользователем точность расчета e, то величину шага интегрирования необходимо уменьшить и продолжить расчет с новым значением h. Очевидно, что неудачный шаг должен быть повторен из той же исходной точки. Иногда для определения приемлемого значения h необходимо выполнить 2¸3 подобных итерации.

 

Для выбора величины шага можно использовать формулу

, (22)

где a - коэффициент запаса, значение которого обычно выбирают из диапазона значений 0.5¸ 0..9.

Эту формулу полезно использовать на каждом шаге и в том случае, когда текущая оценка погрешности удовлетворяет заданной точности. При этом возможно будет рекомендовано большее значение h, что позволит сократить общее число необходимых шагов интегрирования.

В случае решения систем дифференциальных уравнений вычисления выполняются по аналогичным формулам. Однако выбор шага осуществляют по наибольшему значению оценки погрешности D.

 

Задания:

1.Выполнить решение системы дифференциальных уравнений второго порядка методом Эйлера с оценкой погрешности и выбором величины шага интегрирования “вручную” ограничив объем вычислений тремя полными шагами. Построить график изменения функции y(t).

2.Используя программу для расчета на ПЭВМ выполнить трижды численное интегрирование системы дифференциальных уравнений с фиксированным шагом, принимая его значение равным h, 2h, 4h. Построить три расчетных графика изменения функции и сравнить полученные решения.

 

Варианты исходных данных приведены в табл.1.

 

Таблица 1

Варианты исходных данных

№ вари­анта Система дифференциальных уравнений Начальные условия
1 y'= 5x+ 0.2t x'= -y×x - y t0=0; y0=2; x0=1.5;
2 y'= x-y x'= (1-y)x+ 0.1t t0=0; y0=1; x0=1.5;
3 y'= 2x2- y + 0.5 t x'= -x2- y t0=0; y0=2; x0=1;
4 y'= x - 3y x'= -x2+ y×x+ 0.2t t0=0; y0=1; x0=2;
5 y'= 5x (1 - y) x'= x -2×y - 0.01t t0=0; y0=2; x0=3;
6 y'= -2y - 1/x x'= (3-y)×x2+ 0.3t t0=0; y0=4; x0=–2;
7 y'= 5x - y2+ 0.1t x'= (4-y)×x t0=0; y0=2; x0=5
8 y'= 1/x - 3y x'= -5x + 0.2t t0=0; y0=3; x0=4;
9 y'= 3x2- y x'= 2(y+1)×x + 0.3t t0=0; y0=1; x0=3;
10 y'= x - 5y + 0.01 t x'= (1-y)(3 - x) t0=0; y0=3 x0=–1
11 y'= x×(5 - y)2 x'= (2-x)×y+ 0.4t t0=0; y0=2.5; x0=2;
12 y'= x - 4×y2+ 0.1t x'= -y×(2-x) t0=0; y0=0.5; x0=3
13 y'= 4 -y + x+ 0.1t x'= (5-y2)×x t0=0; y0=3; x0=4;
14 y'= x2/(5 - y) + t x'= (1-y)(3 - x) t0=0; y0=0.5; x0=2
15 y'= x2- y + 0.2t x'= (1 - y) x2 t0=0; y0=3; x0=7
16 y'= 1/x - y + 0.3t x'= y/(3 - x) t0=0; y0=2; x0=4
17 y'= -x2- y +5 x'= -x + 5y + 0.05t t0=0; y0= -1; x0=2
18 y'= -x (1 + y)2 x'= (2-y)(4 - x) t0=0; y0=4; x0=1
19 y'= 4 - y - 1/x x'= (2 + y2)(3 - x) + 0.05t t0=0; y0=1; x0=2
20 y'= 1 - 2x - yx + 0.13t x'= 2y (1 - x) t0=0; y0= -3 x0=4
21 y'= 3 - y + xy x'= (1 + 2y)(1 - x) + 0.5t t0=0; y0=2; x0=3
22 y'= -y - 5x2– 0.25t x'= y (5 + y - x) t0=0; y0=2; x0= -1
23 y'= (1 - y2)y - x + 0.4t x'= (2 + y) - x t0=0; y0=–2; x0=2
24 y'= -x - 2y + 0.15t x'= (3 + y) x t0=0; y0= -2; x0= 2
25 y'= 1 - y - 5x x'= y - xy + 0.9t t0=0; y0=3; x0=1

 

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных