Пример решения задачи. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды Q1 = 1 нКл и Q2 = –0,5 нКл

Две концентрические проводящие сферы радиусами R ₁ = 6 см и R ₂ = 10 см несут соответственно заряды Q ₁ = 1 нКл и Q ₂ = –0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра на расстояниях r ₁ = 5 см, r ₂ = 9 см, r ₁ = 15 см. Построить график Е (r).

Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 2.1): области , области , области .

1. Для определения напряженности в области I проведем гауссову поверхность радиусом r ₁ и воспользуемся теоремой Остроградского–Гаусса: (т.к. суммарный заряд, находящийся внутри гауссовой поверхности равен нулю). Из соображений симметрии Следовательно, и (напряженность поля в области I) во всех точках, удовлетворяющих условию , будет равна нулю, т.е. Е ₁ = 0.

Рис. 2.1. Построение гауссовых поверхностей для расчета

напряженностей электрического поля.

2. В области II гауссову поверхность проведем радиусом r ₂. В этом случае (диэлектрическую проницаемость среды будем считать равной единице (вакуум)):

(2.18)

(т.к. внутри гауссовой поверхности находится только заряд ). Из соображения симметрии то Е можно вынести за знак интеграла:

, или (2.19)

Обозначив напряженность Е для области II через , получим

(2.20)

где – площадь гауссовой поверхности. Тогда

. (2.21)

3. В области III гауссова поверхность проводится радиусом r ₃. Обозначим напряженность Е области III через Е ₃ и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен . Тогда

. (2.22)

Заметив, что это выражение можно переписать в виде:

. (2.23)

Убедимся в том, что правая часть равенств (2.21) и (2.23) дает единицу напряженности:

. (2.24)

Выразим все величины в единицах СИ (Q ₁ = 10^‑9 Кл, Q ₂ = –0,5×10^‑9 Кл, r ₁ = 0,09 м, r ₂ = 0,15 м, м / Ф) и произведем вычисления:

Е ₂ = 1,11 кВ / м; Е ₃ = 200 кВ / м.

Построим график E (r). В области Е = 0. В области изменяется по закону В точке напряженность В точке (r стремится к слева) . В области изменяется по закону , причем в точке (r стремится к справа) . Таким образом, функция E (r) в точках и терпит разрыв.

График зависимости E(r) представлен на рис. 2.2.

Рис. 2.2. График зависимости E(r)

Задание для самостоятельного выполнения по вариантам

Дано n проводящих фигур (сфер, цилиндров, плоскостей) или шар из изотропного диэлектрика. Каждая фигура несет заряд, характеризующийся объемной r _n, поверхностной s _n или линейной t _n плотностью заряда. Точки А, В, С находятся на расстояниях r_А, r_В, r_С от центра или оси симметрии фигуры. Взаимодействие осуществляется в вакууме. Данные для решение задач приведены в табл. 2.1 и на рис. 2.3.

Фигуре с номером 1 соответствуют размеры R ₁ и величины s₁, r₁, t₁ и т.д. (рис. 2.3). Если в строке табл. 2.1 с номером вашего варианта какие-то клетки не заполнены, значит для решения вашей задачи эти данные не нужны.

1. Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электростатических полей, найти зависимость напряженности электрического поля от расстояния Е (r) для всех областей (внутри фигуры, между фигурами и вне фигур).

2. Сделать схематический рисунок и показать направление вектора Е в каждой области.

3. Вычислить напряженность Е в точках А, В, С удаленных от центра симметрии фигур на расстояния r_i.

4. Построить график зависимости Е (r) для всех областей.

Данные для выполнения задания. Таблица 2.1

Окончание таблицы 2.1

Схема к вариантам 1, 2	Схема к вариантам 3, 4
Схема к вариантам 5, 6	Схема к вариантам 7, 8
Схема к вариантам 9, 10	Схема к вариантам 11, 12
Схема к вариантам 13, 14	Схема к вариантам 15, 16

Рис. 2.3. Схемы расположения фигур

3. Тема: Основные законы постоянного тока

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: