Многопериодная модель

Теорема. Премия за опцион «колл» может быть вычислена по следующей формуле:

1  n 

C 0 = n ∑

  pn − k qk (u n − k d k S 0 − X), (10)

где

(1  r)

u n − k d k S 0

 X  k 

S 0 – текущая цена актива A,

u и d – соответственно коэффициенты повышения и понижения цены актива за один период;

r – безрисковая процентная ставка;

X – цена исполнения опциона «колл» на актив A;

n – число периодов до момента исполнения опциона.

До ка з а тел ь ст в о. Сначала заметим, что формула (10)

может быть записана следующим образом:

1 n  n 

C 0 = ∑ 

 pn − k q k max(u n − k d k S 0 − X) =

(1  r) n k 0 k 

1 n  n 

= ∑ 

 p n − k q k Cn (u,..., u, d,..., d).

(1  r) n k 0 k 

n − k раз

k раз

Теперь воспользуемся методом математической индукции. Как было установлено ранее, формула (10) верна для одного и для двух периодов (формулы (7), (8)), т. е. при n = 1 и n = 2. Покажем, что если формула (10) верна для n и меньшего числа периодов, то она верна и для n + 1 периода.

Итак, предположим, что срок исполнения опциона наступает через n + 1 период.

Как было установлено при анализе однопериодной модели,

справедливо следующее равенство:

C 0 

1  r

 pC 1

(u)  qC 1

(d). (11)

От момента t = 1 до момента t = n +1 проходит n периодов. В

случае, если за первый период цена актива повысилась, можно

воспользоваться формулой (10) для n периодов, считая S 0 u

текущей ценой актива. Получаем:

1 n  n 

C 1(u) 

∑  p n − k q k max(u n − k 1 d k S 0 − X).

(1  r) n k 0 k 

Аналогично:

1 n  n 

C 1(d) 

∑  pn − k q k max(u n − k d k 1 S 0 − X).

(1  r) n k 0 k 

После подстановки в (11) находим:

1 n  n 

C 0 = ∑

n − k 1 k

n − k 1 k

(1) n 1

  p

k

q max(u

d S − X) +

 r k 0



n  n

+ 1 ∑ 

 n − k

k 1

n − k

k 1

(1) n 1

  p q

k

max(u

d S 0 − X) =

 r k 0 

= 1 (1  r)

n 1

pn 1 max(u n 1 S 0

− X) +

n  n

+ 1 ∑ 

 n − k 1 k

n − k 1 k

(1) n 1

  p

k

q max(u

d S 0 − X) +

 r k 1 

n  n

+ 1

(1  r) n 1

∑ 



 p

− 1

n − k 1 qk

max(u

n − k 1 d

k S 0 − X) +

+ 1 (1  r)

n 1

qn 1 max(d n 1 S 0

− X).

Воспользовавшись тождеством

 n 

 n 

 n  1

   

   ,

 k 

 k − 1

 k 

приходим к следующему равенству:

C 0 =

(1  r) n 1

pn 1 max(u n 1 S 0 − X) +

n  n 1

+ 1 (1  r)

n 1

∑

k 1 k

 p n − k 1 q k

max(u

n − k 1 d

k S 0 − X) +

+ 1 (1  r)

n 1

qn 1 max(d n 1 S 0

− X),

откуда и следует, что

1 n 1 n  1

C 0 = ∑

n − k 1 k

n − k 1 k

(1  r)

n 1

  p

k 0 k 

q max(u

d S − X),

чем и завершается доказательство теоремы.

Преобразуем формулу (10). Пусть m – наибольшее целое число, для которого un – mdm S 0 > X. Тогда

1 m  n 

C 0 = ∑ 

 p n − k q k (u n − k d k S 0 − X) =

(1  r) n k 0 k 

S m  n 

X m  n 

= 0 ∑ 

 p n − k u n − k q k d k – ∑ 

 pn − k q k.

(1  r) n k 0 k 

(1  r) n k 0 k 

В теории вероятностей устанавливается следующий фундаментальный факт (формула Лапласа).

Если p и q – неотрицательные числа такие, что p + q = 1, то при больших значениях n имеет место приближенное равенство:

m  n 

 m − nq 

∑  pn − k q k ≈ N 

, (12)

где

k 0 k 

 npq 

N (x) 

2 −∞

/ 2 dt –

так называемая функция нормального распределения.

Часто вместо функции N (x) используется функция

(x) = N (x) – 0,5 =

2 0

/ 2 dt,

таблица значений которой приводится, как правило, в любом

учебнике по теории вероятностей. Функция (x) нечетна,

монотонно возрастает и

lim

x →∞

(x)  0,5. Значения, близкие к 0,5,

функция (x) принимает уже при сравнительно небольших значениях аргумента. Например, (3) ≈ 0,49865.

В соответствии с (12) имеем:

X m  n 

X  m − nq 

∑  pn − k q k ≈

N  .

(1  r) n k 0 k 

(1  r) n

 npq 

Заметим, что pu + qd = 1 + r. В самом деле:

pu + qd = 1  r − d u + u − (1  r) d

u − d

u − d

Положим

= (1  r) u − (1  r) d u − d

 1  r.

Так как p ′ + q ′ = 1, то

p ′ 

pu,

1  r

q ′ 

qd.

1  r

S m  n 

m  n 

0 ∑ 

 p n − k u n − k q k d k = S 0 ∑

 p ′ n − k q ′ k ≈

(1  r) n k 0 k 

k 0 k 

 m − nq ′ 

S N.

≈ 0 





np ′ q ′ 

Окончательно получаем следующее приближенное

равенство:

 m − nq ′ 

X  m − nq 

N. (13)

C 0 ≈

S 0 N 



 –

np ′ q ′  (1  r) n

 

 npq 

Модификация (13) приводит к широко применяемой

формуле Блэка–Шоулза.

Пример. Текущая цена актива составляет 100 руб. За один день цена актива может увеличиться на 0,3% или уменьшиться на 0,3%. Безрисковая ставка равна 10%. Требуется определить премию за опцион «колл» на этот актив со сроком исполнения через 360 дней и ценой исполнения 105 руб. Имеем следующие исходные данные:

S 0 = 100; X = 105;

1 + r = 1,11/360 = 1,00026;

u = 1,003; d = 0,997; n = 360.

Найдем наибольшее m, при котором

S 0 u 360– mdm > X.

Логарифмируя, получаем неравенство

(360 – m)ln u + m ln d > 1,05,

откуда

m < (360 ln u – 1,05)/(ln u / d) ≈171,6,

так что m = 171. Вычисляем:

p  1,00026 − 0,997  0,54413;

1,003 − 0,997

p '  0,54413 ⋅1,003  0,54562;

1,00026

171 − 360 q '  0,78571;

360 p ' q '

q  1,003 − 1,00026  0,45587;

1,003 − 0,997

q '  0,45587 ⋅0,997  0,45438;

1,00026

171 − 360 q  0,72881.

360 pq

Далее,

N (0,78571) = 0,78398; N (0,72881) = 0,766948.

Наконец,

C 0 = 100⋅0,78398 – 105⋅0,766948/1,1 = 5,19 руб.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: