Однопериодная модель

Предположим, что инвестор в момент t = 0 покупает актив A по цене S 0. За единицу времени от t = 0 до t = 1 стоимость актива может повыситься или понизиться. Пусть u и d – повышающий и понижающий коэффициенты, r – безрисковая процентная ставка и выполняется следующее условие:

d < 1 + r < u.

Инвестор хочет избежать риска, связанного с изменением стоимости актива к моменту t = 1. С этой целью он продает некоторое количество k (быть может, дробное) опционов

«колл» на актив A со сроком исполнения t = 1. Это означает, что инвестор принимает на себя обязательство продать k активов A в момент времени t = 1 по цене исполнения X. Требуется определить значение k и величину премии за опцион (в предположении, что транзакционные издержки отсутствуют).

Введем следующие обозначения (рис. 2):

S 0 – цена актива в момент времени t = 0;

S 1(u) = S 0 u – цена актива в момент времени t = 1 в случае повышения;

S 1(d) = S 0 d – цена актива в момент времени t = 1 в случае понижения;

C 0 – цена опциона в момент времени t = 0 (премия за опцион);

X – цена исполнения опциона;

C 1(u) = max{0, S 0 u – X } – цена опциона в момент вре-

мени t = 1 в случае повышения;

C 1(u) = max{0, S 0 d – X } – цена опциона в момент вре-

мени t = 1 в случае понижения.

S 1(u) = S 0 u

C 1(u) =

= max{0, S 0 u – X }

S 0 C 0

S 1(d) = S 0 d

C 1(d) =

= max{0, S 0 d – X }

Рис. 2

На покупку актива инвестор затратил S 0, от продажи k опционов он получил kC 0. В результате он стал владельцем портфеля, состоящего из одного актива и k опционов. На формирование этого портфеля затрачено S 0 – kC 0. Величина S 0 – kC 0 составляет стоимость портфеля в момент времени t = 0. Если бы эта сумма была размещена под безрисковую процентную ставку, то к моменту времени t = 1

она бы выросла до

(1 + r)(S 0 – kC 0). (1)

С другой стороны, стоимость портфеля в момент времени

t = 1 составит S 1 – kC 1, т. е.

S 1(u) – kC 1(u)

в случае повышения и

S 1(d) – kC 1(d)

в случае понижения. Если подобрать k так, чтобы выполнялось

равенство

S 1(u) – kC 1(u) = S 1(d) – kC 1(d), (2)

то портфель окажется безрисковым. Из (2) находим:

k  S 1(u) − S 1(d). (3)

C 1(u) − C 1 (d)

При таком k стоимость портфеля в момент времени t = 1

окажется равной

S 1(d) C 1 (u) − S 1(u) C 1(d). (4)

C 1(u) − C 1 (d)

Так как портфель дает гарантированный доход, то в соответствии с принципом безарбитражности (прибыль без риска невозможна) его стоимость (4) должна совпадать наращенной суммой (1). Таким образом, получаем следующее равенство:

 S (u) − S

(d)

 S (d) C

(u) − S

(u) C

(d)

(1 r) S 0 − 1 1 C 0 =

1 1 1 1.

 C 1(u) − C 1 (d) 

C 1(u) − C 1 (d)

После несложных преобразований, учитывая, что S 1(u) = S 0 u

и S 1(d) = S 0 d, находим:

1 r − d



C 1 (u

)  u − (1  r)

). (5)

Полагая

1 r 

u − d

u − d 

p  1 r − d,

u − d

q  u − (1  r), (6)

u − d

формуле (5) можно придать следующий вид:

C 0 

1 r

 pC 1

(u)  qC 1

(d). (7)

Пример. Пусть текущая стоимость актива равна 100 рублей. За год его стоимость может повыситься на 20% или понизиться на 15%. Безрисковая годовая ставка равна 10%. Цена исполнения опциона «колл» со сроком исполнения в конце года равна 105 руб. Определим величину премии за опцион.

Если цена актива вырастет и составит 1,2⋅100 = 120 руб., то владелец опциона воспользуется своим правом на покупку актива за 105 рублей. Следовательно, цена опциона C 1(u) составит 120 –105 = 15 руб.

Если цена актива понизится и составит 0,85⋅100 = 85 руб., то владелец опциона свое право на покупку актива за 105 рублей использовать не станет, и цена опциона C 1(d) будет равна нулю.

В соответствии с (6) и (7) находим коэффициенты:

p  1,1−0,85

1,2 − 0,85

≈ 0,714,

q  1,2 − 1,1

1,2 − 0,85

≈ 0,286

и премию за опцион:

C 0 

1,1

0,714 ⋅15  0,286 ⋅ 0  9,74

руб.

По формуле (3) можно найти число опционов, которые нужно продать, чтобы хеджировать риск, связанный с изменением цены актива за год:

k  120 − 85 ≈2,33.

15 −0

Предположим, в начале года инвестор покупает 30 единиц актива A, заплатив 3000 рублей. Одновременно он продает 70 опционов с ценой исполнения 105 рублей. От продажи опционов инвестор получает 9,74⋅70 = 681,80 руб., которые размещает под 10%. К концу года сумма, полученная от продажи опционов, вырастет до 749,98 рублей.

Если стоимость актива к концу года вырастет, то, продав купленные им 30 единиц актива, инвестор может получить

120⋅30 = 3600 руб. При этом ему придется выполнить обязательства по 70 опционам, купив 70 единиц актива по

120 рублей. и продав их владельцам опционов по 105 рублей.

На это придется потратить 120⋅70 – 105⋅70 = 1050 руб.

Доход на конец года составит в этом случае

49,98 + 3600 – 1050 = 3299,98 руб.

Если стоимость актива к концу года понизится, то, продав купленные им 30 единиц актива, инвестор может получить

85⋅30 = 2550 руб. Обязательств по опционам не возникнет, так что и в этом случае доход на конец года составит 749,98 + 2550 = 3299,98 руб.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: