Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Биномиальный ряд. Производящие функции




 

Степенные ряды

 

Хотя название «бином Ньютона» и закрепилось за формулой

 


 

(xy) n


n

n
C k xnk y k, (1)


k  0

 

истинная заслуга Ньютона состоит в том, что ему удалось обобщить формулу (1) на случай произвольных показателей степени. Изучением этого обобщения мы займемся в п. 10.2. Ниже излагаются необходимые сведения о степенных рядах.

Формальным степенным рядом (от переменной z)

 

называется выражение вида

 

ak z k, (2)

k  0

где ak – члены числовой последовательности, называемые коэффициентами степенного ряда (2). Символ суммирования в (2), вообще говоря, формальный. Тем не менее (2) записывают также в виде

a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 +….

 

Пусть даны формальные ряды

 


ak z k

k  0


и ∑ bk z k. (3)

k  0


 

 

Их суммой по определению является ряд

 


∑ (ak k  0


bk) z k.


 

Произведением рядов (3) называется ряд

 

сk z k,

k  0

 


такой, что


 

ck = a 0 bk + a 1 bk –1 +…+ akb 0


 

для всех k = 0, 1, 2,…. Заметим, что коэффициенты ck получаются так, как если бы в произведении рядов были раскрыты скобки и приведены подобные:

(a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +…)(b 0 + b 1 z + b 2 z 2 +…) =

 

= a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) z + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0) z 2 +…

 

Производная ряда (2) определяется как ряд

 

a 1 + 2 a 2 z + 3 a 3 z 2 +….

 

Несложно проверить, что так определенные сложение, умножение и дифференцирование рядов обладают привычными свойствами. Сложение и умножение ассоциативны и коммутативны, сложение дистрибутивно относительно умножения. Производная суммы равна сумме производных. Справедливо также соотношение (uv)′ = uv + uv ′.

Говорят, что ряд (2) сходится при z = t, где t – некоторое

 

числовое значение, если существует предел

 


 

lim


n

ak t k. (4)


n →∞ k  0


 

 

Предел (4) в случае, когда он существует, называют суммой

 

ряда при z = t и обозначают ∑ ak t k.

k  0

 

Любой степенной ряд сходится при z =0. Суммой ряда (2) в нуле является число a 0. Если ряд сходится при z = t 1, то он сходится и при любом z = t 2, для которого | t 2| < | t 1|. Таким образом, если степенной ряд сходится в некоторой точке, отличной от нуля, то он сходится во всех точках некоторого открытого промежутка вида (– r, r), где r ∈(0; +∞]. На промежутке, в точках которого ряд сходится, его сумма задает

функцию. Пишут

 


 

f (z) 


ak z k,

k  0


 

имея в виду, что ряд в правой части сходится в некоторой окрестности нуля, и в каждой точке t из этой окрестности


выполняется равенство


f (t) 


ak t k.

k  0


 

 


Пример. Ряд


 

1 + z + z 2 + z 3 + …


 

сходится во всех точках промежутка (–1, 1). В каждой точке t ∈(–1, 1) этот ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем t. В

соответствии с известной формулой

 


 

1 + z + z 2 + z 3 + … =


1. (5)

1 − z


 

 


Если степенные ряды ∑ ak z k

k  0


и ∑ bk z k

k 0


 

сходятся в


 

некоторой общей точке, то в этой точке сходятся их сумма и

 


произведение; если степенной ряд


ak z k k  0


сходится в


 

некоторой точке, отличной от нуля, то в этой точке сходится и

 

его производная. Пусть,

 


 

 

Тогда:


 

f (z) 


ak z k;

k  0


 

g (z) 


bk z k.

k  0


 

 ∞   ∞ 


 ∑ ak z k    ∑ bk z k  


f (z)  g (z);


k 0


  k 0 


 

 ∞  ∞ 


 ∑ ak z k  ∑ bk z k  


f (z) g (z);


k 0


 k 0 

 


kak z k −1 

k 1


f ′(z).


 

 

Биномиальный ряд

 

Начнем с того, что запишем формулу (1) в виде

 


 

(1  z) n


nk

∑   z

k


 

(6)


k ≥0 

 


C
n
(когда числа k


трактуются как биномиальные коэффициенты,

 

n


обычно используется обозначение 


).


k

 

Заменяя в формуле (5) z на – z, получаем:


 

 


 

1 – z + z 2 – z 3 + … =


1. (7)

1  z


 

По аналогии с (7) запишем последнее соотношение в виде

 

 − 1


(1  z)−1 

 

 

Сравнивая (7) и (8), получаем:


∑ 

k ≥ 0  k


z k. (8)


 


 − 1


 − 1


 

 

Вообще,


   1; 

 0  


  −1, ….

1 


 

k
 − 1

   (−1).

k
 

 

 

Возьмем производную от обеих частей равенства (8):

 

 − 1


− (1  z)−2 


k


z k −1.


 

Полагая

 

 − 2 


 

 

 − 1


k ≥1

 

 

 − 2 


k


 

 

 − 1 


   −


; …; 


  −(k  1) ⋅


; …,


 0 


 1 


k


k  1


 


получаем равенство


 

 − 2 


(1  z)−2


 ∑ 

k ≥0 k


z k.


 

Продолжая подобным образом, мы будем получать

 

равенства вида

 

 − n


(1  z)− n


 ∑ 

k ≥ 0  k


z k. (9)


 

 

Чтобы получить рекуррентные соотношения, связывающие биномиальные коэффициенты, продифференцируем обе

части (9):

 

 − n


n (1  z)−(n 1) 


k


z k −1.


 

Следовательно,


k ≥1  k

 

 

k  − n


 

 

k  1 


 

 

n


(1  z)−(n 1)  ∑ − 


z k −1  ∑ −


  z k.


 

k ≥1


nk


 

k ≥ 0


nk  1


 

Сравнивая это равенство с равенством вида (9) для

 

показателя n + 1, приходим к следующему соотношению:

 


 − (n  1) 


k  1 


n


   −


 . (10)


k


nk  1


 

Используя (8) и (10) и применяя метод математической

 

индукции, нетрудно придти к следующему заключению:

 


 − n


k n (n  1) ⋅K⋅(nk − 1)


 

k C k


   (−1)

k


 (−1)

k!
k!


nk −1. (11)


 

Равенство (11) можно записать в следующем виде:

 


K
 − n  − n (− n − 1) ⋅

  


⋅(− nk  1). (12)


k
 

 

 

Формулу для числа сочетаний и (12) можно свести в одну общую формулу:

K
б б(б − 1) ⋅ ⋅(б − k  1)

  , (13)

 

kk!

 

 

где  – положительное или отрицательное целое число.


 

 

На самом деле в качестве  можно взять любое

 

действительное число. При этом справедливо соотношение

 


 б 


 б 


 б 


(1  z


 1  


z  


z 2  


z 3 .... (14)


 1 


 2 


 3 


 

Чтобы из (14) получить (13) достаточно продифференцировать k раз обе части равенства (14) и

подставить z =0:

 


 б 


 б 


б(б − 1)K(б − k  1)(1  z)б − k


k!


  (k  1)!


z  K;


k


 

 б 


k  1


б(б − 1)K(б − k  1)  k! k .

 

 

 


Пример. Покажем, что

 

 


 

k


 1 2   (−1) k  2 


 

(k  1)22 k 1. (15)


k  1


k


   

 

В соответствии с (13) имеем:

 


 1 2


  1 2 (1 2 − 1) ⋅K⋅(1 2 − k)  (−1) k 1⋅1⋅3 ⋅K⋅(2 k − 1).


k  1


(k  1)!


2 k 1(


 

 1)!


  k

 

Умножив числитель и знаменатель последней дроби на

 

2 ⋅ 4 ⋅⋅ 2 k = 2 kk!,

 

получаем доказываемое соотношение:

 


 1 2


 

  (−1) k


(2 k)!


 

 (−1) k


1 (2 k)!.


k  1


22 k 1 k!(k  1)!


22 k 1(k  1)


 

k! k!



 

 

Используя предыдущую формулу, вычислим начальные

 

коэффициенты разложения в ряд функции (1 + z)1/2. Получаем:

 


1 2 


1 2 


1 1 2 


1 1 2 


1 1 2  5


   1; 

 0  


 ; 

1  2 


  −; 

2  8 


 ; 

3  16 


  −.

4  128


 


Таким образом,

 

1  z


 

 1  1 z1 z 2  1 z 3 − 5 z 4  K.


2 8 16



 

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных