Поняття рівняння з однією змінною. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильні рівняння. Методика навчання розв’язування задач на рух.

Рівняння з однією змінною
Якщо взяти два вирази зі змінними і з’єднати їх знаком «=», то отримаємо речення. Воно містить змінну х. Якщо замість змінної х підставити певні значення, то речення перетвориться у висловлення, які можуть бути істинними або хибними. Так, якщо х = 4, то висловлення істинне; якщо х = 3, то висловлення хибне. Тому речення є висловлювальна форма.
Означення. Нехай f х і g x – два вирази зі змінною х і областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f х = g x називається рівнянням з однією змінною. Значення змінної х із множини X, при якому рівняння перетворюється у істинну числову рівність, називається коренем або розв’язком рівняння.
Розв’язати рівняння – значить знайти множину розв’язків коренів рівняння.
Щоб розв’язати рівняння, його перетворюють, використовуючи теореми про рівносильність рівнянь або тотожні перетворення виразів.

Рівносильність рівнянь
Два рівняння, множини розв’язків яких на певній множині М збігаються, називаються рівносильними.
Наприклад, рівняння і рівносильні на множині R, бо множина коренів першого рівняння {1} і множина коренів другого рівняння{1},тобто множини коренів рівні.
Теорема 1. Нехай рівняння f х = g x задано на множині Х і h х – вираз, який визначений на тій же множині Х. Тоді рівняння і дане рівняння f х = g x рівносильні.
Доведення. Нехай Т1 множина розв’язків рівняння 1, а Т2 множина розв’язків рівняння 2. Покажемо, що множини коренів рівні.
Нехай число а є коренем рівняння 1. Тоді і при підстановці у рівняння 1 обертає його у істинну числову рівність: f а = g а, а вираз h х у числовий вираз. Додамо до обох частин рівності f а = g а вираз. Отримаємо істинну числову рівність, а це означає, що а є коренем рівняння 2. Отже, кожен корінь рівняння 1 є коренем рівняння 2. Аналогічно можна показати, що кожен корінь рівняння 2 є коренем рівняння 1. За доведенням і дані рівняння рівносильні.
Теорема 2. Нехай рівняння f х = g x задано на множині Х і h х – вираз, який визначений на тій же множині Х і який не перетворюється на нуль ні при яких значеннях х із множини Х. Тоді рівняння і дане рівняння рівносильні.
Доведення аналогічне до доведення першої теореми.
При розв’язуванні рівнянь частіше використовуються не самі теореми, а наслідки з них.

Наслідки з теорем про рівносильність рівнянь
До теореми 1
1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
2. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
До теореми 2
3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Методика: Підготовча робота до розв'язування задач на рух передбачає узагальнення уявлень ДІТЕЙ про рух; ознайомлення з новою величиною - швідкістю, Розкриття зв'язків Між величинами: швідкість, годину, відстань. Для узагальнення уявлень ДІТЕЙ про рух корисностей проводять спеціальну екскурсію для спостереження за рухом транспорту, після Чого організовують спостереження за рухом в умів класу.

Під годину роботи над завданнями на рух можна віділіті Такі Основні Поняття: зустрічній рух (швідкість збліження; годину збліження); рух у протилежних напрямки (швідкість віддалення; годину віддалення); рух в одному напрямі (швідкість збліження (віддалення); годину збліження (віддалення)); рух за течією чі проти течії (власна швідкість плавзасобу; Його швідкість за течією; проті течії; швідкість збліження і час збліження; швідкість віддалення і час віддалення); рух по колу (швідкість збліження (віддалення) Під годину руху в одному и протилежних напрямки); середня швідкість руху (середня аріфметічна величина; середня швідкість).

Чімалі труднощі Під годину розв'язування задач на рух у середніх та старших класах визначаються недостатня робота над данім типом задач у початковій школі. Однією з причин цього є недостатня сформованість у початкових класах зрозуміти про величини (годину, відстань, швідкість) та їх пропорційну залежність.

Поняття нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильні нерівності. Методика вивчення змістової лінії «Рівності та нерівності» в початковому курсі математики.

Окрім числових нерівностей, існують нерівності зі змінними. Визнaчимо основні поняття нерівності з однією змінною.

Нерівність, до якої входить зміннa, нaзивaється нерівністю з однією змінною. Нерівності з однією змінною розв’язуються.

Розв’язaти нерівність — ознaчaє знaйти множину її розв’язків aбо довести, що їх не існує.

Розв’язок нерівності з однією змінною — це знaчення змінної, яке зaдовольняє цю нерівність.

Рівносильні нерівності — це нерівності, що мaють одні й ті сaмі розв’язки. Тобто якщо кожен розв’язок однієї нерівності зaдовольняє другу нерівність, то тaкі нерівності рівносильні. Нaприклaд, нерівність x + 1 > 2 рівносильнa нерівностям x > 1, x – 1 > 0 тa іншим.

Якщо два вирази зі змінною сполучити одним із знаків >, <, ≤, ≥, то одержимо нерівність зі змінною.

З теорем рівносильності випливaють тaкі влaстивості нерівностей зі змінними:

1. У будь-якій чaстині нерівності можнa розкрити дужки.

2. У будь-якій чaстині нерівності можнa звести подібні додaнки.

3. Будь-який член нерівності можнa перенести з однієї чaстини в іншу, зaмінивши його знaк нa протилежний.

4. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме додaтне число.

5. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме від’ємне число, зaмінивши при цьому знaк нерівності нa протилежний.

Дві нерівності називаються рівносильними на деякій множині, якщо на цій множині вони мають одні й ті самі розв’язки, тобто якщо кожен розв’язок першої нерівності
є розв’язком другої і, навпаки, кожен розв’язок другої нерівності є розв’язком першої

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: