Линейные операции над матрицами

Билет 1

Ответ: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Числа m и n называются размерностями матрицы.

Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица — квадратная матрица, у которой все внедиагональные элементы равны нулю.

Скалярная матрица —диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица - матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные - нули:

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или En, где n - порядок матрицы.

Линейные операции над матрицами

1. Сложение матриц.

Определение 3.4. Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С).
3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

Пример.

2. Умножение матрицы на число.

Определение 3.5. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (km)A=k(mA).
2. k(A + B) = kA + kB.
3. (k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В.

Пример.

. Тогда

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: