Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Минор.

Минором М _ij квадратной матрицы n-го порядка для элемента а_ij называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением А _ij для элемента квадратной матрицы а_ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1) ^i+j.

Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n-ого порядка.

Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1) ^r(j), где r(j)-число инверсий). Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Условие совместимости системы уравнения

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A < n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е₁, е₂,…,е_k называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с₁е₁+с₂е₂+…+с_kе_k, где е₁, е₂,…, е_{k –} любая фундаментальная система решений, с₁, с₂,…,с_k – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

9)Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса. Метод Гаусса: каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую противоречивое ур-е. Противоречивым называется ур-е вида OX₁+OX₂+...+OX_n=b. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой.Неизвестное x₁ называют разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x₁ с коэффициентом, равным 1, а во все другие ур-я системы неизвестное x₁ не входит.

Правило Крамера.

Правило Крамера: пусть DА-определитель матрицы системы, а Dj-определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если DА¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле ¾ Xj= Dj/ DA.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: