Решение задач на движение. Движение является темой для самых разнообразных задач, в том числе и для задач на части

Движение является темой для самых разнообразных задач, в том числе и для задач на части. Но наряду с этим существует и самостоятельный тип задач на движение. Он объединяет такие задачи, которые решаются на основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, расстоянием и временем. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.

Итак, движение, рассматриваемое в текстовых задачах, характеризуют три величины: пройденный путь (s), скорость (u), время (t); основное отношение (зависимость) между ними: s = .u t

Рассмотрим особенности решения основных видов задач на движение.

Задачи на встречное движение двух тел

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, u₁, t₁; движение второго – s₂, u₂, t₂. Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис. 50):

Если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т.е. t₁ = t₂ = t_вспр.

Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, т.е. u_с6л =u₁+ u₂.

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: s = u_сбл.×t _встр.

Задача 1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого - 4 км/ч. Через сколько часов они встретились?

Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг другу двух пешеходов. Один идет со скоростью 5 км/ч, а другой – 4 км/ч. Путь, который они должны пройти, 18 км. Требуется найти время, через которое они встретятся, начав движение одновременно. Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными - схематический чертеж (рис. 51) или таблица.

Поиск плана решения в данном случае удобно вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как скорости пешеходов известны, можно найти их скорость сближения. Зная скорость сближения пешеходов и все расстояние, которое им надо пройти, можем найти время, через которое пешеходы встретятся. Запишем решение задачи по действиям:

1) 5 + 4 = 9 (км/ч)

2) 18:9 = 2(4) Таким образом, пешеходы встретятся через 2 ч от начала движения.

Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через 5 ч встретились. Один их них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Определите скорости автомобилей.

Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг другу двух автомобилей. Известно, что движение они начали одновременно и встретились через 5 часов. Скорости автомобилей различны – один ехал быстрее другого на 16 км/ч. Путь, который проехали автомобили – 600 км. Требуется определить скорости движения.

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть различными: схематический чертеж (рис. 52) или таблица.

Поиск плана решения задачи будем вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как известно все расстояние и время встречи, можно найти скорость сближения автомобилей. Затем, зная, что скорость одного на 16 км/ч больше скорости другого, можно найти скорости автомобилей. При этом можно воспользоваться вспомогательной моделью, приведенной на рисунке 53.

Запишем решение задачи по действиям с пояснением:

5) 600:5 = 120 (км/ч) - это скорость сближения автомобилей.

6) 120-16 = 104 (км/ч) - это скорость сближения, если бы скорости автомобилей были одинаковыми и равными скорости первого.

7) 104:2 = 52 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

8) 52+ 16 = 68 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

Есть и другие арифметические способы решения данной задачи, вот два из них.

1)600:5= 120 (км/ч) 1) 16 5 = 80 (км)

6)120 + 16 = 136 (км/ч) 2) 600 - 80 = 520 (км)

7)136:2 = 68 (км/ч) 3) 520:2 = 260 (км)

8)68-16 = 52 (км/ч) 4) 260:5 = 52 (км/ч)

5)52+ 16 = 68 (км/ч)

Дайте устные пояснения к выполненным действиям и попытайтесь найти другие способы решения данной задачи.

Задачи на движение двух тел в одном направлении.

Среди них следует различать два типа задач:

3)движение начинается одновременно из разных пунктов;

4)движение начинается в разное время из одного пункта.

Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, u₁, t₁, а движение второго – s₂, u₂, t₂.

Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис. 54):

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то u₁ > u₂. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстояние u₁ – u₂. Это расстояние называют скоростью сближения: u_сбл. = u₁ – u₂.

Расстояние s, представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:

s = s₁ – s₂ и s = u_{сбл .}× t_встр.

Задача 3. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного – 40 км/ч, другого – 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?

Решение. В задаче рассматривается движение двух мотоциклистов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся на расстоянии 30 км. Скорость одного 40 км/ч, другого – 50 км/ч. Требуется узнать, через сколько часов второй мотоциклист догонит первого.

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными: схематический чертеж (рис. 55) или таблица.

Сравнение скоростей мотоциклистов говорит о том, что в тече­ние часа первый мотоциклист приближается ко второму на 10 км. Расстояние, которое ему надо пройти до встречи со вторым, на 30 км больше, чем расстояние, которое за такое же время пройдет второй мотоциклист. Поэтому первому потребуется столько времени, сколько раз 10 км укладываются в 30 км. Запишем решение задачи по действиям:

3) 50 - 40 = 10 (км/ч) – скорость сближения мотоциклистов

4) 30:10 = 3 (ч) – за это время первый мотоциклист догонит второго. Наглядно этот процесс представлен на рисунке 56, где единичный отрезок изображает расстояние, равное 10 км.

Задача 4. Всадник выезжает из пункта А и едет со скоростью 12 км/ч; в это же время из пункта В, отстоящего от А на 24 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Оба движутся в одном направлении. На каком расстоянии от В всадник догонит пешехода?

Решение. В задаче рассматривается движение в одном направлении всадника и пешехода. Движение началось одновременно из разных пунктов, расстояние между которыми 24 км, и с разной скоростью: у всадника – 12 км/ч, у пешехода – 4 км/ч. Требуется узнать расстояние от пункта, из которого вышел пешеход, до момента встречи всадника и пешехода.

Вспомогательные модели: схематический чертеж (рис. 57) или таблица.

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти время, которое будет находиться в пути пешеход или всадник, – время их движения до встречи одинаковое. Как найти это время, подробно рассказано в предыдущей задаче. Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить следующие действия:

4) 12-4 = 8 (км/ч) – скорость сближения всадника и пешехода.

5) 24:8 = 3 (ч) – время, через которое всадник догонит пешехода

6) 4×3 = 12 (км) – расстояние от В, на котором всадник догонит пешехода.

Задача 5. В 7 ч из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд. В 13 ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоростью 780 км/ч. Через какое время самолет догонит поезд?

Решение. В данной задаче рассматривается движение поезда и самолета в одном направлении из одного пункта, но начинается оно в разное время. Известны скорости поезда и самолета, а также время начала их движения. Требуется найти время, через которое самолет догонит поезд.

Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд прошел определенное расстояние. И если его найти, то данная задача становится аналогичной задаче 3, рассмотренной выше.

Чтобы найти расстояние, которое прошел поезд до момента вылета самолета, надо подсчитать, сколько времени находился в пути поезд. Умножив время на скорость поезда, получим расстояние, пройденное поездом до момента вылета самолета. А дальше как в задаче 3.

5) 24 – 7 = 17 (ч) – столько времени был в пути поезд в тот день, когда он вышел из Москвы.

6) 17 + 13 = 30 (ч) – столько времени был в пути поезд до момента вылета самолета.

7) 60 × 30 = 1800 (км) – путь, пройденный поездом до момента вылета самолета.

8) 780 – 60 = 720 (км/ч) – скорость сближения самолета и поезда.

9) 1800:720 = 2 (ч) – время, через которое самолет догонит поезд.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: