Понятие соответствия. Способы задания соответствий. Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

I. Найти значение выражения:	II. Найти площадь фигуры:	III. Решить уравнение:
в1) (17 – 1): 4	F1	y1) 2+x = 6
в2) (12 + 18): (6-6);	F2	y2) x – 7 = 4
в3) 2×7+6	F3   Рис.66	y3) 2x = 8

В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.

Что общее имеют эти соответствия?

Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом - это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором - это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем - это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67).

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:

I. {(в ₁,),(в ₃ 20)};

II. {(F ₁,4), (F ₂,10), (F₃,10)};

III.{ y₁,4), (y₂,11), (y₃, 4)}.

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами X и Y назы­вается всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, R и др. Если S-соответствие между элементами множеств X и Y, то, согласно определению, S Ì Х ´ Y.

Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие - это подмножество, то его можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие между множествами X = {1, 2, 4, 6} и Y = {3, 5} можно задать:

1)при помощи предложения с двумя переменными: а < b при условии, что а Î X, b Î Y ;

2)перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х´Y. {(1, 3), (1,5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 68) и графика (рис. 69).

Нередко, изучая соответствие между множествами X и Y, приходится рассматривать и соответствие, ему обратное. Пусть, например, S -соответствие «больше на 2» между множествами X = {4, 5, 8, 10} и Y- {2, 3, 6}. Тогда S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} и его граф будет таким, как на рисунке 70, а.

Соответствие, обратное данному, - это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами Y и X, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (рис. 70,б). Если соответствие «меньше на 2» обозначить

S^-1, то S ^-1 = {(2,4), (3,5), (6,8)}.

а) б)

Рис. 70

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2у; х > 3 у+ 1 и др.

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному.

Определение. Пусть S - соответствие между множествами Х иY. Соответствие S^-1 между множествами Y и X называется обратным данному, если у S^-1х тогда и только тогда, когда хSу.

Упражнения

1. Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ - 7 см, СD = 12 см, КL = 15 см, ХY - 12 см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа.

2. Даны множества: X - {2, 5), Y = {3, 6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?

а) X = {2,4,6,8}, Y = N; б) Х =[2,8], Y = R;

в) Х=Y= R.

4. Между множествами X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} и Y = Z задано соответствие «х - у = 3», причем х е X, у е Y. Какая фигура на рисунке 72 является графиком этого соответствия?

5. Графиком соответствия Р, заданного между множествами X и Y, являются все точки прямоугольника АВСБ (рис. 73). Назовите координаты трех точек, принадлежащих этому графику и задайте множества Х и Y.

6. Множества X = {1, 3, 4, 6} и Y = {0, 1} находятся в соответствии S = {(1, 1), (3, 0), (3, 1), (4, 0), (4, 1) (6, 1)}. Задайте соответствиеS^-1, обратное соответствию Y, и постройте на одном чертеже их графики.

7. Между множеством X - углов треугольника AВС и множеством Y - его сторон задано соответствие Т - «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т^-1, обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.

8. Даны графики соответствий Р и Q (рис. 74). Можно ли утверждать, что соответствия Р и Q взаимно обратные?

9. Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 75).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: