В противоположных направлениях

В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.

Общим теоретическим положением для них будет следующее: u_удал. = u₁+ u₂, где u₁ и u₂ соответственно скорости первого и второго тел, а u_удал – это скорость удаления, т.е. расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.

Задача 6. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?

Решение. В задаче рассматривается движение двух поездов. Они выходят одновременно от одной станции и идут в противоположных направлениях. Известны скорости поездов (60 км/ч и 70 км/ч) и время их движения (3 ч). Требуется найти расстояние, на котором они будут находиться друг от друга через указанное время.

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть такими: схематический чертеж (рис. 58) или таблица.

Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояния, пройденные первым и вторым поездом за 3 ч, и полученные результаты сложить:

3) 60×3= 180 (км)

4) 70×3 = 210 (км)

5) 180 + 210 = 390 (км)

Можно решить эту задачу другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:

1) 60 + 70 = 130 (км/ч) – скорость удаления поездов

2) 130×3 = 390 (км) – расстояние между поездами через 3 ч.

Задача 7. От станции А отправился поезд со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч после выхода второго поезда?

Решение. Эта задача отличается от задачи 6 тем, что движение поездов начинается в разное время. Вспомогательная модель задачи представлена на рис. 59. Решить ее можно двумя арифметическими способами.

1 способ

1) 2+3 = 5 (ч) – столько времени в пути был первый поезд.

2) 60×5 = 300 (км) – расстояние, которое за 5 ч прошел этот поезд.

3) 70×3 = 210 (км) - расстояние, которое прошел второй поезд.

4) 300 + 210 = 510 (км) – расстояние между поездами.

2 способ

1) 60+70 = 130 (км/ч) – скорость удаления поездов.

2) 130×3 = 390 (км) – расстояние, на которое удалились поезда за 3 ч.

3) 60×2 = 120 (км) – расстояние, пройденное первым поездом за 2 ч.

4) 390+120 = 510 (км) – расстояние между поездами.

Задачи на движение по реке

Задача 8. Расстояние 360 км катер проходит за 15 ч, если двигается против течения реки, и за 12 ч, если двигается по течению. Сколько времени потребуется катеру, чтобы проплыть 135 км по озеру?

Решение. В данном случае удобно все данные, неизвестные и искомое, записать в таблицу.

Таблица подсказывает последовательность действий: найти сначала скорость движения катера по течению и против течения, затем, используя формулы, – собственную скорость катера и, наконец, время, за которое он проплывет 135 км по озеру:

6) 360:12 = 30 (км/ч) – скорость катера по течению реки.

7) 360:15 = 24 (км/ч) – скорость катера против течения реки.

8) 24+30 = 54 (км/ч) – удвоенная собственная скорость катера.

9) 54:2 = 27 (км/ч) – собственная скорость катера

10) 135:27 = 5 (ч) – время, за которое проплывет катер 135 км.

Решение задач, связанных с различными

процессами (работа, наполнение бассейнов и др.)

Задача 9. Двум рабочим дано задание изготовить 120 деталей. Один рабочий изготавливает 7 деталей в час, а другой – 5 деталей в час. За сколько часов рабочие выполнят задание, работая вместе?

Решение. В задаче рассматривается процесс выполнения двумя рабочими задания по изготовлению 120 деталей. Известно, что один рабочий делает в час 7 деталей, а другой – 5. Требуется узнать время, за которое рабочие сделают 120 деталей, работая вместе. Чтобы найти ответ на это требование, надо знать, что процесс, о котором идет речь в задаче, характеризуется тремя величинами:

– общим количеством произведенных деталей – это результат процесса; обозначим его буквой K;

– количеством изготовленных деталей за единицу времени (это производительность труда или скорость протекания процесса); обозначим его буквой k;

– временем выполнения задания (это время протекания процесса); обозначим его буквой t.

Зависимость между данными величинами выражается формулой K = kt.

Чтобы найти ответ на вопрос задачи, т.е. время t, надо найти количество деталей, изготавливаемых рабочими за 1 ч при совместной работе, а затем разделить 120 деталей на полученную производительность. Таким образом, будем иметь:

k = 7 + 5 = 12 (деталей в час);

t = 120:12= 10 (ч).

Задача 10. В одном резервуаре 380 м³ воды, а в другом – 1500 м³. В первый резервуар каждый час поступает 80 м³ воды, а из второго каждый час выкачивают по 60 м³ воды. Через сколько часов в резервуарах воды станет поровну?

Решение. В данной задаче рассматривается процесс заполнения водой одного резервуара и выкачивания воды из другого. Этот процесс характеризуется следующими величинами:

– объемом воды в резервуарах; обозначим его буквой V;

– скоростью поступления (выкачивания) воды; обозначим ее буквой u;

– временем протекания процесса; обозначим его буквой t.

Зависимость между названными величинами выражается формулой V=ut.

Процесс, описанный в данной задаче, аналогичен движению двух объектов навстречу друг другу. Это можно наглядно представить, построив вспомогательную модель (рис. 60).

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти скорость «сближения» уровней воды в резервуарах и объем воды, при котором происходит выравнивание этих уровней, а затем разделить этот объем на скорость «сближения». Запишем решение задачи по действиям:

1) 80 + 60= 140 (м³);

2) 1500-380= 1120(м³);

3) 1120:140 = 8(4).

Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, выполним проверку.

За 8 ч в первый резервуар поступит 640 м³ (80×8 = 640), а из второго выкачают 480 м³ (60×8 = 480). Тогда в первом воды будет 1020 м³ (380 + 640 = 1020), и во втором – столько же (1500–480 = 1020), что удовлетворяет условию задачи.

Упражнения

1. С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м в секунду, а другой 6 м в секунду?

Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:

а) 9 + 6; б)180:9; в) 180:6; г) 180:(9+6).

Какое из этих выражений является решающей моделью данной задачи?

2. Запишите решение задачи в виде выражения:

а) Самолет пролетел за 2 ч а км. Сколько километров он пролетит за 5 ч?

б) Из двух городов, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик и встретились через t ч. Скорость легкового автомобиля u км/ч. Найдите скорость грузовика.

в) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоцикл и встретились через t ч. Найдите расстояние между городами, если скорость автомобиля u₁ км/ч, а скорость мотоцикла u₂ км/ч.

3. Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск, а другой подъем на движущихся лестницах метро, поравнялись через 30 с. Вычислите длину лестницы, если скорость ее движения 1 м/с.

Решите задачу двумя арифметическими способами.

4. Расстояние между городами А и В 520 км. В 8 ч из А в В выехал автобус со скоростью 56 км/ч, а в 11 ч того же дня из В в А выехал грузовой автомобиль со скоростью 32 км/ч. На каком расстоянии от А встретятся машины?

Решение задачи запишите по действиям и в виде выражения.

9. Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 8 ч после выхода. Найдите скорость каждого поезда, если один проходил в час на 16 км больше другого.

Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:

а) 16×8; д) (960-16×8):2:8+16;

б) 960-16×8; е) (960-16×8):8;

в) (960-16×8):2; ж) (960-16×8):8:2.

г)(960-16×8):2:8;

Запишите решение данной задачи по действиям.

Дайте пояснения к каждому действию такого решения данной задачи:

1)960:8= 120 (км/ч);

2) 120-16= 104 (км/ч);

3)104:2 = 52 (км/ч);

4) 52+ 16 = 68 (км/ч).

6. Решите нижеприведенные задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям с пояснениями.

а) Из А в В выехал мотоциклист, проезжавший в час 48 км. Через 45 мин из В в А выехал другой мотоциклист, скорость которого была 50 км/ч. Зная, что расстояние АВ равно 330 км, найдите, на каком расстоянии от В мотоциклисты встретятся.

б) Из двух городов, расстояние между которыми 484 км, выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Через 4 ч расстояние между ними оказалось 292 км. Определите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста.

7. Установите, достаточно ли данных для ответа на требование задачи:

а) Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. С какой скоростью шел другой пешеход?

б) Расстояние между станциями 780 км. Одновременно навстречу друг другу с этих станций вышли два поезда и через 6 ч встретились. Найдите скорость каждого поезда, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.

В случае если нельзя ответить на требование задачи, дополните ее условие недостающими данным и решите задачу.

8. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными:

а) Расстояние между плотом и катером, которые движутся по реке навстречу друг другу, 52 км. Скорость плота 4 км/ч, а скорость катера 9 км/ч. Как изменится расстояние между ними через час?

б) Почтальон живет на расстоянии 24 км от почтового отделения. Путь от дома до почты он проехал за 3 ч на велосипеде со скоростью 8 км/ч, а обратный путь по той же дороге он проехал со скоростью 6 км/ч. На какой путь почтальон потратил меньше времени и на сколько часов?

В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и решите получившуюся задачу.

18. Два теплохода отправились одновременно от пристани в одном и том же направлении. Скорость одного теплохода 25 км/ч, другого – 20 км/ч. Первый пришел к конечной остановке на 4 ч раньше, чем второй. Найдите расстояние между пристанью и конечной остановкой.

Постройте вспомогательную модель задачи, используя таблицу.

Объясните, используя условие данной задачи, смысл следующих выражений:

а) 20×4; б) 25-20; в) (20×4):(25-20).

Есть ли среди этих выражений решающая модель задачи? Запишите решение задачи в виде выражения и найдите его значение.

Выполните проверку, решив задачу алгебраическим методом.

10. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям и выполните проверку:

а) Из двух городов, расстояние между которыми 260 км, одновременно выехали два поезда в одном направлении. Скорость шедшего впереди поезда 50 км/ч, а второго – 70 км/ч. Через какое время один поезд догонит другой?

б) Из пункта А выехал автобус со скоростью 40 км/ч и через 12 мин нагнал пешехода, который вышел из пункта В одновременно с началом движения автобуса из пункта А. Скорость пешехода 5 км/ч. Каково расстояние между пунктами А и В?

в) Скорость одного конькобежца на 2 м/с больше скорости другого. Если второй начнет движение на 20 с раньше первого, то первый, стартуя с того же места, что и второй, догонит его через 80 с. Определите скорости спортсменов.

13. Два самолета вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в два раза быстрее, чем второй?

14. Решите задачи арифметическим методом, установив предварительно, о каких процессах в них идет речь, какие величины рассматриваются и в каких зависимостях они находятся:

а) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая вместе в течение 5 дней?

б) В мастерской было два куска ткани: один длиной 104 м, другой – 84 м. Из всей ткани сшили одинаковые платья, причем из первого куска получилось на 5 платьев больше, чем из второго. Сколько всего платьев сшили из этой ткани?

в) Один экскаватор вынимает на 60 м³ в час больше земли, чем другой. Оба экскаватора вынули вместе 10320 м³ земли, причем первый работал 20 ч, а второй – 18 ч. С какой производительностью работал каждый экскаватор?

г) Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту 2 картофелины, а второй - 3 картофелины. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 мин больше первого?

д) Бассейн вмещает 2700 м³ воды и наполняется тремя трубами. Первая и вторая трубы вместе могут наполнить бассейн за 12 ч, а первая и третья наполняют его вместе за 15 ч. За сколько часов каждая труба в отдельности наполняет бассейн, если третья труба действует вдвое медленнее второй?

13. От двух пристаней, расстояние между которыми по реке 640 км, вышли одновременно навстречу друг другу два теплохода. Собственная скорость теплоходов одинакова. Скорость течения реки 2 км/ч. Теплоход, идущий по течению, за 9 ч проходит 198 км. Через сколько часов теплоходы встретятся?

Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:

а) 198:9 г) 198:9 + (198:9-4)

б) 198:9–2 д) 640:(198:9 + (198:9-4))

в) 198:9–2–2

Есть ли среди этих выражений решающая модель данной задачи? Запишите решение данной задачи по действиям с пояснениями и выполните проверку.

14. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям с пояснением:

а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на обратный путь –10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?

б) Собственная скорость моторной лодки в 8 раз больше скорости течения реки. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки, если, двигаясь по течению, лодка за 4 ч проплыла 108 км.

в) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определите собственную скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с.

15. Есть ли среди следующих задач задачи с недостающими или избыточными данными:

а) Турист проехал поездом и на лошади 288 км, причем на лошади он проехал 48 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади, если скорость поезда 60 км/ч?

б) Турист проехал поездом и на лошади 288 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади?

в) Турист проехал поездом и на лошади 288 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади, если поезд шел со скоростью 60 км/ч?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: