ТОР 5 статей:
Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия
Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века
Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка
Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы
КАТЕГОРИИ:
- Археология
- Архитектура
- Астрономия
- Аудит
- Биология
- Ботаника
- Бухгалтерский учёт
- Войное дело
- Генетика
- География
- Геология
- Дизайн
- Искусство
- История
- Кино
- Кулинария
- Культура
- Литература
- Математика
- Медицина
- Металлургия
- Мифология
- Музыка
- Психология
- Религия
- Спорт
- Строительство
- Техника
- Транспорт
- Туризм
- Усадьба
- Физика
- Фотография
- Химия
- Экология
- Электричество
- Электроника
- Энергетика
Выражения и их тождественные преобразования
Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3×2-4, (25 + 3)×2 - 17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3×2-4 равно 2.
Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например,
выражение 8: (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.
Рассмотрим запись 2а + 3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:
если а = 7, то 2×7 + 3;
если а = 0, то 2×0 + 3;
если а = -4, то 2×(-4) + 3.
В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2 a + 3 – выражением с переменной.
Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например ÿ. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2×ÿ + 3.
Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Например, область определения выражения 5:(х - 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х = 7 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет.
В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных. Например, 2а + 3 - это выражение с одной переменной, а (3 х + 8y)×z - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения.
Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если провести аналогию с русским языком, то выражения - это слова математического языка.
Но используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - 12 или 3х - у:+)8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких знаков алфавита математического языка образуются выражения числовые и с переменными, не является определением этих понятий. Дадим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).
Определение. Если ¦ и g- числовые выражения, то (¦) + (g), (¦) - (g), (¦):(g) - числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением.
Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6): (2). Для сокращения записи условились не писать скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем эти операции выполняются слева направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо. Например, пишут так: 37-12 + 62-17+13 или 120:15×7:12.
Кроме того, условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому выражение (12×4:3) + (5×8:2×7) записывают так: 12×4:3 + 5×8:2×7.
Задача. Найти значение выражения 3 х (х -2) + 4(х -2) при х = 6.
Решение.
1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3×6×(6 - 2) + 4 (6 - 2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия:
3×6×(6 - 2)+ 4×(6-2)= 18×4 + 4×4 = 72 + 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения 3 х (х -2) + 4(х -2) равно 88.
2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его: 3 х (х - 2) + 4(х - 2) = (х - 2)(3 х + 4). И затем, подставив в полученное выражение вместо х число 6, выполним действия: (6 - 2)×(3×6 + 4) = 4×(18 + 4) = 4×22 = 88.
Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18×4 + 4×4 заменяли выражением 72+16, а выражение 3 х (х - 2) + 4(х - 2) - выражением (х - 2)(3 х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.
Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.
Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х + 2) и 5 х + 10, поскольку при любых действительных значениях х их значения равны.
Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.
Например, 5(х + 2) = 5 х + 10 - тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5 х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: (" х Î R) 5(х + 2) = 5 х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.
Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.
Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему выражение 5 х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгебраических операций.
Приведем пример тождественных преобразований выражения.
Задача. Разложить на множители выражение ах-bх + аb-b2.
Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ах-bх + аb-b2 = (ах-bх) + (аb-b2). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.
Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: (ах - bх) + (аb - b2) = х(а - b) + b(а - b) - это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения относительно вычитания действительных чисел.
В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: х(а- b) + b(а-b) = (а-b)(х - b). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.
Итак, ах - bх + аb - b2 = (а - b)(х - b).
В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к числу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др. Например, чтобы найти произведение 35×4, надо выполнить преобразования: 35×4 = (30 + 5)×4 = 30×4 + 5×4 = = 120 + 20 = 140. В основе выполненных преобразований лежат: свойство дистрибутивности умножения относительно сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35 = 30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел.
Упражнения
1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:
а) 42:5; б)27; в) 32+-): 14; г) 2×7 = 7×2;
д) (17+13): 10-15; е)142>71×2.
2. Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматривать их на множестве натуральных чисел:
а) (135 + 67)×12; б) (135-217):2; в) 362:4?
3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:
а) 8 + 0,3b; б)21-(4+.у); в) х +2.у<7; г) 32:y + 3 = 5у?
4. Установите, какова область определения выражений, если рассматривать их на множестве действительных чисел:
а) (3-y):64; б) 64:(3-y); в) (5+ х):(х -12).
5. Известно, что выражение называется по своему последнему действию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:
| Выражение | Название выражения |
| (12×5 + 3:(2 + 7))×18 | |
| (23-7×6-4+ 15):(17-6) | |
| 21+(35×3:8-14:5) | |
| 19-8:4 + 5 |
6. Вычислите значение выражения:
а) ((36:2-14)×(42×2-14) + 20):2;
б)(72:12-(18-15)):(24:3-2-4);
в) (16,583:7,21 + 54,68-853,2 + 28,82×0,1): 1,6-1,02.
7. Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 – 3 x тождественно равными на множестве:
а) {1,2,3,4}; б) действительных чисел.
8. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел:
а) 3 р + 5 т = 5 т + 3 р; в) 3 р- 5 т = 5 т× 3 р;
б) 3 р - 5 т = 5 т - 3 р; г) 3 р: 5 т = 5 т:3 р?.
9. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:
а) 324×5 = (300 + 20 + 4)×5 = 300×5 + 20×5 + 4-5 =
= 500+ 100 + 20 = 1500+120 = 1620;
б) 97×12 = (100-3)×12 = 100×12-3×12 = 1200-36 =
= 1100 + (100-36)= 1164;
в) 5(1-2 х)+10 х = 5-10 х + 10 х = 5.
10. Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение» на множестве числовых выражений является отношением эквивалентности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?
11. Упростите выражение путем тождественных преобразований:
а) 6(2 аb- 3) + 2а (6 b-5); б) (12 a -16 b):4-(10 а -4 b).
12. Сравните значения выражений, не выполняя действий:
а) (30 + 56)×5 и 30×5 + 56×5;
б) (19 + 4)×7 и 19×7+10×7;
в) (14-7)×6 и 16×6-7×6;
г) (18-9)×7 и 18×7-11×7.
13. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:
а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разбились на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?
б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будет шить в день на 50 фартуков больше?
в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: