Понятие функции. Способы задания функций

Выполним два задания для младших школьников.

3)Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.

4)Заполни таблицу.

С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?

Прежде всего, в каждом задании есть два числовых множества, между которыми устанавливается соответствие. В первом - это множества {1, 3, 5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором-это множество значений вычитаемого {0, 1, 2, 3, 4, 5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2, 1,0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами соответствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого множества сопоставляется единственное число из второго. В математике такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие числовой функции определяют так:

Определение. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами ¦, g, h и др. Если ¦- функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу х из множества X, часто обозначают¦(х) и пишут у=(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции. Множество чисел вида¦(х) для всех х из множества X называют областью значений функции ¦.

В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве X = {1, 3, 5, 7} - это ее область определения. А область значений этой функции есть множество {2, 6, 10, 14}.

Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.

Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, формулы у = 2х - 3, у = х², у = 3х, где х - действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению х можно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение у.

Заметим, что с помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения. Например, функция у - 2х - 3, где х Î R, отлична от функции у = 2х - 3, где х Î N. Действительно, при х - -5 значение первой функции равно -13, а значение второй при х - -5 не определено.

Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью определения функции является область определения выражения ¦(х). Например, если функция задана формулой у = 2х - 3, то ее областью определения считают множество R действительных чисел. Если функция задана формулой , то ее область определения - есть множество R действительных чисел, исключая число 2 (если х - 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).

Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости. Пусть у = ¦ (х) - функция с областью определения X. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату ¦ (х) для всех х из множества X.

Функции можно задавать при помощи графика. Например, графики, приведенные на рисунке 84, задают функции, одна из которых имеет в качестве области определения промежуток [-2, 3], а вторая - конечное множество {-2,-1, 0, 1, 2, 3}.

Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции. Так как при каждом значении аргумента из области определения функция должна иметь лишь одно значение, то любая прямая, параллельная оси ординат, или совсем не пересекает график функции, или пересекает его лишь в одной точке. Если же это условие не выполняется, то множество точек координатной плоскости график функции не задает. Например, кривая на рисунке 85 не является графиком функции - прямая АВ, параллельная оси ординат, пересекает ее в двух точках. Функции можно задавать при помощи таблицы. Например, таблица, приведенная ниже, описывает зависимость температуры воздуха от времени суток. Эта зависимость - функция, так как каждому значению времени t соответствует единственное значение температуры воздуха p:

Числовые функции обладают многими свойствами. Мы рассмотрим одно из них - свойство монотонности, так как понимание этого свойства учителем важно при обучении математике младших школьников.

Определение. Функция ¦ называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

Определение. Функция ¦ называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х,, х₂ из множества А выполняется условие:

x₁ < х₂ => ¦ (х₁) <¦(x ₂).

 

График функции, возрастающей на промежутке А, обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются (рис. 86).

Определение. Функция ¦ называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х,, х₂ из множества А выполняется условие:

x₁ < x₂ => ¦ (x₁) > ¦ (x₂).

График функции, убывающей на промежутке А, обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 87).

 

Упражнения

1. Функции, приведенные в начале пункта, задайте при помощи формул и укажите для каждой область определения и множество значений.

2. Какие из следующих формул задают на множестве R действительных чисел функцию:

а)y = 4х; б) в) x² + y²=4?

5. На рисунке 88 изображены графики функций ¦, g, h. Укажите область определения и область значений каждой. Установите, возрастают они или убывают на данной области определения. Найдите для каждой функции наибольшее и наименьшее значение на всей области определения.

6. Постройте график функции у =; 5 - х, если ее область определения X такова:

а) Х= {0,1,2,3,4,5};

б) Х =[0;5];

в) X = R.

5. Постройте графики следующих функций при условии, что они заданы на множестве R действительных чисел:

а)у = х; б). у = 3; в) х = 5; г)у = 0.

6. Функция ¦ задана при помощи таблицы:

а) Укажите ее область определения и область значений.

б) Задайте функцию ¦ при помощи формулы.

в) Постройте график функции ¦ на координатной плоскости.

д) Докажите, что функция ¦ возрастает на всей области определения.

7. Изучая математику в начальных классах, учащиеся выполняют задания:

а) 39 + а. Вычисли сумму, если а принимает значения 0,6,15,31,46,52.

б) ÿ- 9. Вычисли разность, поставив в окошко числа 10, 11, 12.

в) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 12.

Покажите, что в каждом из этих заданий устанавливается соответствие между двумя числовыми множествами и это соответствие-функция. Назовите в каждом случае область ее определения и область значений.

8. Докажите, что соответствие между значениями переменных х и у, рассматриваемое в задаче, является функцией; укажите область ее значений при условии, что х < 5; постройте график данной функции:

а) Катя купила 3 тетради, а Лена на х тетрадей больше. Сколько тетрадей (у) купили Лена и Катя вместе?

б) Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли два туриста. При встрече оказалось, что один прошел 3 км, а второй на х км больше. Каково расстояние (у км) между пунктами А и В?

9. Сравните функции, о которых идет речь в упражнении 8. Чем они похожи? В чем их различие? Какими будут графики данных функций?

10. У одного ученика было 2 тетради. В течение 6 дней он каждый день покупал по 3 новых тетради. Сколько тетрадей (у) у него будет через х дней?

Выразите у через х и покажите, что установленное соответствие -функция. Укажите ее область определения и область значений. Постройте график.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: