Взаимно однозначные соответствия. В математике изучают различные виды соответствий

В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире, многообразны. Для учителя, обучающего математике младших школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия.

Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества X.

Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий.

Пример 1. Пусть Х- множество кружков, Y- множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок (рис. 76).

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества X сопоставляется единственный квадрат из множества Y и каждый квадрат из Y соответствует только одному кружку из множества X.

Пример 2. Пусть X - множество действительных чисел, Y -множество точек координатной прямой. Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу.

В математике взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y часто называют взаимно однозначным отображением множества X на множество Y.

Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определить отношение равномощности множеств.

Определение. Множества X и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множества X и Y равномощны, то пишут X ~ Y. Нетрудно увидеть, что множества, которые были рассмотрены в примерах 1 и 2, равномощны.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равно численность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов (рис. 76).

Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на...» и «меньше на...». Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством X, в котором 4 элемента, и подмножеством Y, другого множества Y, в котором 6 элементов (рис. 77), и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.

Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств.

Пример 3. Пусть X - множество точек отрезка АВ, Y - множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (рис. 78), то множества точек отрезка АВ и СD равномощны.

 

 

Пример 4. Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество Y - четных натуральных чисел. Они равномощны, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие:

 

На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество В, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.

Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счетным. Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.

Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.

Упражнения

3. Задайте при помощи графа три соответствия между множествами X = {а, b, с} и Y = {2, 4, 6} так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.

4. X - множество прямоугольников (рис. 79), Y = N. Между элементами этих множеств установлено соответствие Р: «прямоугольник х имеет площадь, равную у». Постройте граф соответствия Р.

Является ли оно взаимно однозначным?

3. Как можно изменить множества X и Y, данные в

упражнении 2, чтобы соответствие Р: «прямоугольник имеет площадь, равную у», было взаимно однозначным?

6. Даны множества: А = {1, 2, 5}, В = {3, 7}. Найдите A ´ В и В ´ А. Верно ли, что найденные множества равномощны?

7. Докажите, что множество А счетно, если:

а) А = {9,10,11,12,...};

б) А = {а | а - 3п, п Î N };

в) А = {а | а = n², п Î N }.

6. Покажите, что, выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множеств:

а) Нарисуй на другой фигуре (рис. 80) столько же точек, сколько на первой (точки не пересчитывать).

в) У Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Сколько марок было у Коли?

г) У Маши 9 игрушек, а у Риты на 2 меньше. Сколько игрушек у Риты?

д) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям?

е) Для детского сада купили 15 красных мячей, а зеленых в 3 раза меньше. Сколько зеленых мячей купили детям?

§9. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Функция - одно из важнейших понятий математики, исходное по­нятие ведущей ее области - математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами.

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требует от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в начальной школе пропедевтику понятия функции.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: