ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Понятие соответствия. Способы задания соответствийРассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения. Что общее имеют эти соответствия? Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом - это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором - это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем - это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел. Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67). Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии: I. {(в 1,),(в 3 20)}; II. {(F 1,4), (F 2,10), (F3,10)}; III.{ y1,4), (y2,11), (y3, 4)}. Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия. Определение. Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, R и др. Если S-соответствие между элементами множеств X и Y, то, согласно определению, S Ì Х ´ Y. Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие - это подмножество, то его можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие между множествами X = {1, 2, 4, 6} и Y = {3, 5} можно задать: 3)при помощи предложения с двумя переменными: а < b при условии, что а Î X, b Î Y ; 4)перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х´Y. {(1, 3), (1,5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 68) и графика (рис. 69). Соответствие, обратное данному, - это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами Y и X, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (рис. 70,б). Если соответствие «меньше на 2» обозначить S-1, то S -1 = {(2,4), (3,5), (6,8)}. а) б) Рис. 70 Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2у; х > 3 у+ 1 и др. Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному. Определение. Пусть S - соответствие между множествами Х иY. Соответствие S-1 между множествами Y и X называется обратным данному, если у S-1х тогда и только тогда, когда хSу. Соответствия S и S называют взаимно обратными. Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} (рис. 71, а). При построении графика соответствия S -1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = {2, 3, 6}, а вторую - из множества Х= {4, 5, 8, 10}. В результате график соответствия S -1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S -1, условились первую компоненту пары соответствия S -1 считать абсциссой, а вторую - ординатой. Например, если (5, 3) Î S, то (3, 5) Î S -1. Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в общем случае (х, у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Упражнения 5. Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ - 7 см, СD = 12 см, КL = 15 см, ХY - 12 см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа. 6. Даны множества: X - {2, 5), Y = {3, 6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»? 3. Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если: а) X = {2,4,6,8}, Y = N; б) Х =[2,8], Y = R; в) Х=Y= R. 4. Между множествами X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} и Y = Z задано соответствие «х - у = 3», причем х е X, у е Y. Какая фигура на рисунке 72 является графиком этого соответствия? 10. Графиком соответствия Р, заданного между множествами X и Y, являются все точки прямоугольника АВСБ (рис. 73). Назовите координаты трех точек, принадлежащих этому графику и задайте множества Х и Y. 11. Множества X = {1, 3, 4, 6} и Y = {0, 1} находятся в соответствии S = {(1, 1), (3, 0), (3, 1), (4, 0), (4, 1) (6, 1)}. Задайте соответствиеS-1, обратное соответствию Y, и постройте на одном чертеже их графики. 12. Между множеством X - углов треугольника AВС и множеством Y - его сторон задано соответствие Т - «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т-1, обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа. 13. Даны графики соответствий Р и Q (рис. 74). Можно ли утверждать, что соответствия Р и Q взаимно обратные? 14. Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 75). Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|