Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Отношения эквивалентности и порядка




Рассмотрим на множестве дробей Х = { отношение

равенства. Это отношение:

-рефлексивно, так как всякая дробь равна сама себе;

-симметрично, так как из того, что дробь равна дроби ,следует, что дробь равна дроби ;

-транзитивно, так как из того, что дробь равна дроби и дробь равна дроби , следует, что дробь равна дроби .

Про отношение равенства дробей говорят, что оно является отношением эквивалентности.

Определение. Отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

Почему в математике выделили этот вид отношений? Рассмотрим отношение равенства дробей, заданное на множестве X = (рис.106). Видим, что множество разбилось на три подмножества:

, ,

Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством X, т.е. имеем разбиение множества X на классы. Это не случайно.

Вообще, если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве дробей соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве X, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Рассмотрим, например, на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно порождает разбиение множества X на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй - числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 1, 4, 7, 10), и в третий - все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 2, 5, 8). Действительно, полученные подмножества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством X. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве X, является отношением эквивалентности. Заметим, что утверждение о взаимосвязи отношения эквивалентности и разбиения множества на классы нуждается в доказательстве. Мы его опускаем. Скажем только, что если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задается отношение равенства (а оно является отношением эквивалентности), то множество отрезков разбивается на классы равных отрезков (см. рис. 99). Отношению подобия соответствует разбиение множества треугольников на классы подобных треугольников.

Итак, имея отношение эквивалентности на некотором множестве, мы можем разбить это множество на классы. Но можно поступить и наоборот: сначала разбить множество на классы, а затем определить отношение эквивалентности, считая, что два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу рассматриваемого разбиения.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?

Во-первых, эквивалентный - это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.

Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т,е. произвольным элементом этого класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность отдельных представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. Свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные между собой прямые.

Вообще любое понятие, которым оперирует человек, представляет собой некоторый класс эквивалентности. «Стол», «дом», «книга» - все эти понятия являются обобщенными представлениями о множестве конкретных предметов, имеющих одинаковое назначение.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка.


Определение. Отношение R на множестве X называется отношением порядка, если оно одновременно обладает свойствами анти­симметричности и транзитивности.

Примерами отношений порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел; отношение «короче» на множестве отрезков, поскольку они антисимметричны и транзитивны.

Если отношение порядка обладает еще свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением линейного порядка, так как обладает свойствами антисимметричности, транзитивности и связанности.

Определение. Множество X называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Так, множество N натуральных чисел можно упорядочить, если задать на нем отношение «меньше».

Если отношение порядка, заданное на множестве X, обладает свойством связанности, то говорят, что оно линейно упорядочивает множество X.

Например, множество натуральных чисел можно упорядочить и с помощью отношения «меньше», и с помощью отношения «кратно» -оба они являются отношениями порядка. Но отношение «меньше», в отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством связанности. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество натуральных чисел линейно.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

 

Упражнения

1. На множестве Х прямоугольников (рис. 107) задано отношение «иметь равные площади». Постройте граф отношения и докажите, что оно является отношением эквивалентности. Какие классы эквивалентности порождает это отношение на множестве Х.

2.Объясните, почему отношение равенства отрезков является отношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.

3.X - множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве: а) «х параллельна у»; б) «х перпендикулярна у»; в) «х пересекает y»?

4.На множестве X - {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Является ли оно отношением эквивалентности?

5.Можно ли разбить множество X = {7-3; 22, 5×2; 60:6; 1 + 3; 0:4; 0×10; 4: (10-10)} на классы при помощи отношения «иметь равные значения»?

6.На множестве X = {213, 37, 21, 87, 82} задано отношение Р -«иметь в записи одинаковые цифры». Является ли Р отношением эквивалентности?

7. На множестве целых чисел от 0 до 999 задано отношение К - «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что К - отношение эквивалентности. На сколько классов эквивалентности разбивается данное множество при помощи отношения K. Назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса.

8.Сколько классов эквивалентности порождает на множестве натуральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же цифрой»? Назовите по одному представителю каждого класса.

9.X - множество отрезков. Какие из следующих отношений являются отношениями порядка на этом множестве: а) «х равно y;»; б) «х длиннее у»; в) «х длиннее у в 3 раза»?

10.Упорядочивают ли множество натуральных чисел отношения:

а) «больше в 2 раза»; б) «больше на 2»; в) «непосредственно следовать за»; г) «х - делитель у»?

11.Отношение Т- «иметь одно и то же число делителей» задано на множестве X = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Является ли Т отношением эквивалентности? Отношением порядка?

12.Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны; свой ответ обоснуйте:

а) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел рефлективно и симметрично.

б) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел антисимметрично и транзитивно.

в) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел является отношением порядка.

13.Между множествами существуют отношения равенства, равно-мощности, «быть подмножеством». Какие из них являются отношениями эквивалентности, а какие отношениями порядка?

14.Решите задачи для младших школьников и укажите свойства отношений, которые были при этом использованы:

а) Мальчик составил пирамидку из трех колечек: желтого, красного и зеленого. В каком порядке он расположил колечки, если желтое больше зеленого, а красное меньше зеленого?

б) Четверо учащихся получили разные оценки за контрольную работу. Игорь получил оценку выше, чем Петр, Петр ниже, чем Максим, но выше, чем Кирилл. Кто получил самую низкую оценку?

 

§ 11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ

В математике изучают не только отношения, но и различные операции. Например, сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение из корня - это операции над числами; пересечение, объединение, вычитание, декартово умножение - это операции над множествами; конъюнкция, дизъюнкция, отрицание - это операции над высказываниями и высказывательными формами. Операции над высказываниями и множествами появились в математике вXIX веке. Операции над высказываниями ввел английский математик Дж.Буль, а операции над множествами немецкий математик Г.Кантор. Оказалось, что операции над высказываниями и множествами обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел, но некоторые их свойства отличаются от свойств операций над числами.

Вообще в XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, высказываний, множеств и другие. Каждая из них имела свои правила, но для некоторых видов алгебр эти правила были Похожими. Стремление выяснить, что представляет собой любая операция, способствовало появлению общего понятия алгебраической операции.




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных