Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Запись числав десятичной системе счисления




Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел используется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записями числа 3×103 + 7×102 + 4×10 + 5.

Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х = ап×10nn-1×10n-1+ ... + а110 + а0, где коэффициенты аn, an-1,…, а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и аn ¹ 0.

Сумму аn×10n + ап-1×10n-1 + ... + а,×10 + а0 в краткой форме принято записывать так: апап-1...а1а0.

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема.Любое натуральное число х можно представить в виде:

х =аn×10п + аn-1×10n-1+ ... + а1×10 + ао, (I)

где аn, аn-1,, ... , а1, а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, и такая запись единственна.

Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 102, 103,..., 10",... найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10n £ х < 10n+1, что всегда можно сделать.

Разделим (с остатком) число х на 10n. Если частное этих чисел обозначить через аn, а остаток через хn, то х = аn×10n + хn, где аn < 10 и хn < 10n. Далее, разделив хn на 10n-1, получим: хп = аn-1×10n-1+ хn-1, откуда х=a×10n+an-1×10n-1+ хn-1, где аn-1< 10 и хп-1 < 10n-1. Продолжая деление, дойдем до равенства х2 = а1×10 + х1. Положив х1 = a0, будем иметь: х = аn×10n + аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0, т.е. число х будет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числа х в десятичной системе счисления.

Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число п в равенстве (1) однозначно определяется условием 10n £ х < 10n+1 . После того как и определено, коэффициент аn находят из условия: аn×10n £ х < (аn + 1)×10n. Далее, аналогичны образом определяются коэффициенты an-1,..., а0.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х = аn×10n + аn-1 ×10n-1 + ... + а1×10 + а0,

у = bm×10m + bт-1×10m-1 + ... + b1×10 + bо.

Тогда число х меньше числам, если выполнено одно из условий:

а) n < т;

б) п = т, но аn <bn;

в) n = m, аn =bn,... ,ак =bk, но аk-1, <bk-1,

Доказательство. В случае а) имеем: так как n < т, то 10n+1 £ 10m, а поскольку x < 10n+1и 10m£ у, то х < 10n+1 £ 10m £ у, т.е. х<у.

В случае б): если п = т, но аn< bn, то аn + 1 £ bn и потому п + 1)×10n £ bn×10n. А так как х <(аn + 1)×10 и bn×10n £ y, то х <(ап + 1)×10n < bn×10n £ у, т.е. х<у.

Аналогично доказывается теорема и в случае в).

Например, если х = 345, а у = 4678, то х < у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х< у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467 , то х < у, так как, несмотря на то, что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в числе х меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде х = an×10n + an-1×10n-1 + ... + a1×10 + а0, то числа 1, 10, 102,..., 10n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, ..., п + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 – основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. Впервый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс - класс тысяч. Внего входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов,состоящий тоже из тех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 1×10 + а0) образуются из соединения первых десяти названий и сколько измененного слова десять («дцать»):

одиннадцать - один на десять,

двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но на предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.

Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2×10 + а0) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка – двадцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (да, обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести» Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион.Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число – тысяча миллионов - носит особое название миллиард,или биллион.В вычислениях миллион принято записывать в виде 106, миллиард – 109. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион – 1012,квадриллион - 1015и т.д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десяти записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000 + 700 + 40 + 5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.

Упражнения

1. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:

а) 4725; б)3370; в) 10255.

2. Какие числа представлены следующими суммами:

а) 6×103 + 5×10 + 8; б) 7×103 + 1 × 10;

в) 8×104 + 103 + 3×10 + 1; г) 105 + 102?

3. Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в которых все цифры различны.

4. Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики:

а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.

б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число?

Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять ?

5.Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?

6.Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырехзначных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозможных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6 так, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа?

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например:

+ 341 7238

 

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти коэффициентами:

341 + 7238 = (3×102 + 4×10 + 1) + (7× 103 + 2×102 + 3×10 + 8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

3×102 + 4×10 + 1 + 7×103 + 2×102+ 3×10+ 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7×103 + 3×102 + 2×102 + 4×10 + 3×10 + 1 + 8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7×103 + (3×102 + 2×102) + (4×10 + 3×10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7×103 + (3 + 2) ×102 + (4 + 3) ×10 + (1 + 8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов, Эти суммы находим по таблице сложения: 7×103 + 5×102 + 7×10 + 9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

– способ записи чисел в десятичной системе счисления;

– свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

– дистрибутивность умножения относительно сложения;

– таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7×102 + 4×10 + 8) + (4×102 + 3×10 + 6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7 + 4) ×102 + (4 + 3)×10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7 + 4, 8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполни преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 1 × 10 + 4:

(7 + 4) ×102 + (4 + 3) ×10 + (1×10 + 4).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7 + 4) ×102 + (4 + 3 + 1) ×10 + 4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1×10+ 1, получаем: (1 × 10 + 1) ×102 + 8×10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 748 + 436=1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа: х = аn ×10n + аn-1×10n-1 + ... + а0 и у = b×10n + bп-1, ×10п-1 + … + b0, т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково. х + у = (аn×10n + аn-1×10n-1 +... + а0) + (bп×10п + bn-1×10n-1 +... + b0) = (аn + bn) 10n + n-1 + bп-1) × 10n-1 + ... + 0 + b0) - преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (аn + bn) ×10n + (an-1 + bn-1) ×10n-1+ ... + 0 + b0), вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х + у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы аk + bk не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее k, для которого аk + bk ³ 10. Если аk + bk ³ 10, то из того, что 0 £ аk £ 9 и 0 £ bk £ 9, следует неравенство 0 £ аk + bk £ 18 и поэтому аk + bk можно представить в виде аk + bk = 10 + сk, где 0 £ сk £ 9. Но тогда k + bk)×10k = (10 + сk)×10k = 10k+1+ сk×10k. В силу свойств сложения и умножения в n + bn10n + ...+(а0 + b0) слагаемые k+1 + bk+110k+1+(аk + bk10k могут быть заменены на к+1 + bк+1 + 1)×10k+1 + сk×10k. После этого рассматриваем коэффициенты аn + bп, ап-1, + bn-1, ...,аk+2+ bk+1, аk+1+ bk+1 + 1, выбираем наименьшее s, при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через п шагов придем к выражению вида: х + у = (сn + 10)×10 + ... + c0, где сn ¹ 0, или х + у = 10n+1 + сn×10n + ... + с0, и где для всех и выполняется равенство 0 £ сn < 10. Тем самым получена десятичная запись числа х + у.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество Цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в Десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находилось друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3.Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляю ее в виде а0 + b0 = 1 × 10 + с0, где с0 - однозначное число; записываю с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4.Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т. д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число изображаемое цифрой».

Упражнения

1.На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

2.При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в начальной школе последовательно рассматриваются такие случаи сложения: 231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299. Каковы особенности каждого из этих случаев?

3.Вычислите устно значение выражение; использованный прием обоснуйте:

а) 2746 + 7254 + 9876; б) 7238 + 8978 + 2768;

в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;

д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643).

4. Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными
при выполнении задания.

а) Можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столбике одинаковы:

2459+121 53075 + 2306

2458+122 53076 + 2305

2457+123 53006 + 2375

2456+124 53306 + 2075

б) Можно ли записать значения этих сумм в порядке возрастания: 4583 + 321 4593 + 311 4573 + 331

Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485 - 231 = (4×102 + 8×10 + 5) - (2×102 + 3×10 + 1). Чтобы вычесть из числа 4×102 + 8×10 + 5 сумму 2×102 + 3×10 + 1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4×102 + 8×10 + 5)-(2×102 + 3×10+ 1) = (4×102 + 8×10 + 5)-2×102-3×10-1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2×102 вычтем из слагаемого 4×102, число 3×10 - из слагаемого 8×10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда:

(4×102 + 8×10 + 5)-2×102-3×10-1 = (4×102- 2×102) + (8×10 - 3×10) + (5- 1). Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 - 2)×102 + (8 - 3)×10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8 - 3 и 5 - 1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2×102 + 5×10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение (4 - 2)×102 + (8 - 3)×10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

485 231

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на: – способе записи числа в десятичной системе счисления;

– правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

– свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

– таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:

760-326 = (7×102+ 6×10 +0)- (3×102 + 2×10 + 6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать-тогда будем иметь выражение: (7×102 + 5×10 + 10) - (3×102 + 2×10 + 6) Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 - 3)×102 + (5 - 2)×10 + (10 - 6) или 4×102 + 3×10 +4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.

Пусть даны два числа х = аn×10n + аn-1×10n-1 + ... + а0 и у = bn×10n + bn-1×10n-1+... + b0. Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что

х-у = (ап-bп)×10п + (аn-1-bn-110n-1 + ... + (а0-b0). (1)

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех k выполняется условие аk ³ bk. Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее k, для которого аk < bk. Пусть т - наименьший индекс, такой, что т > k и аm ¹ 0, а аm-1 = ... = ак+1 = 0. Имеет место равенство аm×10m = т - 1)×10m + 9×10m-1+ ... + 9×10k+1 + 10×10k (например, если т = 4, к = \,а„, = 6, то 6-Ю4 = 5-Ю4 + 9-Ю3 + 9-Ю2 + + 10-10). Поэтому в равенстве (1) выражение m - bm10m+ … + k-bk)×10k можно заменить на m-bт-1)×10m + (9 –bm-1,)×10m-1+ + (9 – bk+1) ×10k+1 + k + 10 - bk) ×10k Из того, что аk < bk < 10, вытекает неравенство 0 < 10 + аk – bk < 10, а из того, что 0 £ bs £ 9, вытекает неравенство 0 £ 9 - bs < 10, где k+1 £ s £ т-1. Поэтому в записи х -y = (ап-bп) ×10п + ...+(ат-bm-1) ×10m + (9-bm-1) ×10m-1 + ... + (9-bk+1) ×10k+1+ (аk + 10 - bk) ×10 + ... + 0 - b0) все коэффициенты с индексом, меньшим т, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам аn - bn,..., аm - bm, - 1, через п шагов придем к записи разности х-y в виде х -у=сn×10n + сn-1×10n-1 + ... + с0, где для всех k выполняется неравенство 0 < сk < 10. Если при этом окажется, что сn = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа последнего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10 + а0, записываем разность в отряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Упражнения

1. На примере нахождения разности чисел 469 и 246, 757 и 208 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания чисел столбиком.

2. Выполните вычитание, используя запись и объясняя каждый шаг алгоритма:

а) 84072 – 63894; в) 935204 – 326435;

б) 940235 – 32849; г) 653481 – 2336974.

3.Сколько пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1 и 0? Чему равна разность между наибольшим и наименьшим из этих пятизначных чисел?

4.Назовите способы проверки правильности вычитания многозначных чисел и дайте им обоснование.

5.Вычислите (устно) значение выражения, использованные примеры обоснуйте:

а) 2362 – (839 + 1362);

б) (1241 + 576) – 841;

в) (7929 + 5027 + 4843) – (2027 +3843).

6.Докажите, что a + (b – c) =

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) 6420 + (3580 – 1736);

б) 5480 + (965 – 1246).

7.Докажите, что a – (b – c) =

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) 3720 – (1742 – 2678),

б) 2354 – (965 – 1246).

8. Докажите, что (а-b)-с =

Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) (4317 – 1928) – 317;

б) (5243 – 1354) – 1646.

9. Не выполняя вычислений, найдите пары выражений, значении которых равны:

а) 6387 – 1486-821; г) 6387 – 1486 + 821;

б) 6387 – (1486-821); д) 6387 + 1486 – 821;

в) 6387 – (1486 + 821); е) 6387 + (1486 – 821).

10. Как изменится разность, если:

а) уменьшаемое уменьшить на 277, а вычитаемое увеличить на 135;

б) к уменьшаемому и вычитаемому прибавить 198;

в) к уменьшаемому прибавить, а из вычитаемого вычесть 198?

11. Решить следующие задачи арифметическим методом, решение запишите в виде числового выражения; выбор действий обоснуйте используя соответствующую математическую теорию:

а) Первый овощной магазин получил с базы на 500 кг овощей больше, чем второй магазин. Первый магазин продал за день 1 т 300 кг овощей, второй 1 т 100 кг. На сколько меньше овощей осталось к концу дня во втором магазине?

б) В двух мешках лежат яблоки; в первом мешке на 70 яблок больше, чем во втором. В каком мешке яблок будет меньше и на сколько, если переложить из первого мешка во второй 45 яблок? ,

в) В первой библиотеке 6844 книги, что на 959 книг меньше, чем второй, а в третьей на 2348 книг меньше, чем в первой и второй библиотеках вместе. Сколько книг в третьей библиотеке?

Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

´428 263 +2568 856

Видим, что для получения ответа нам пришлось умно-

жить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на

однозначное; но, умножив на 6, результат записали по особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

– умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

– складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4×102 + 2×10 + 8 и тогда 428×3 = (4×102 + 2×10 + 8)×3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4×102)×3 + (2×10)×3 + 8×3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12×102 + 6×10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12×102 + 6×10 + 24 – коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1×10 + 2, а число 24 в виде 2×10 + 4. Затем выражении (1×10 + 2)×102 + 6×10 + (2×10 + 4) раскроем скобки: 1×103 + 2×102 + 6×10 + 2×10 + 4. На основании ассоциативности сложения дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6×10 и 2×10 и вынесем 10 за скобки: 1×103 + 2×102 + (6 + 2)×10 + 4. Сумма 6 + 2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1×103 + 2×102 + 8×10 + 4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428×3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

– записи чисел в десятичной системе счисления;

– свойствах сложения и умножения;

– таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить х = аn×10n + ап-1×10n-1 + …+ a0 на однозначное число у:

х×у = (an×10n + аn-1 ×10n-1 + ...+а0)×у = (аn×у)×10n + (аn-1×у)×10n + ... + a0×y,

причем преобразования выполнены на основании свойств умножения После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения аk×у, где 0 £ k £ п, соответствующими значениями аk×у = bk×10+ с и получаем: х×у = (bn ×10 + сn)×10n + (bn-1 ×10 + сn-1) ×10n-1 +…+ (b1×10 + с1) ×10 + (b0×10 + с0) = bn×10п+1 + (сn + bn-1) ×10 +…+ (с1 + b0) ×10 + с0. По таблице сложения заменяем суммы сk + bk-1, где 0 £ k £ n и k = 0, 1,2, ..., п, их значениями. Если, например, с0 однозначно, то последняя цифра произведения равна с0. Если же с0 = 10 + т0, то последняя цифра равна т0, а к скобке (с1 + b0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х×у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа на однозначное число у.

1.Записываем второе число под первым.

2.Умножаем цифры разряда единиц числа x на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3.Если произведение цифр единиц числа x на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + с0, где с0 - однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 - перенос в следующий разряд.

4.Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5.Процесс умножения заканчивается, когда окажется умножен цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х = аn×10n+ аn-1×10n-1 + ... +а0 на 10k: (an×10n + an-1×10n-1 +…+ a0) ×10k = an×10n+1 + an-1×10n+k-1 +…+ a0×10k.

Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа , так как равно аn×10n+k + аn-1×10n+k-1 +... + a0×10k + 0×10k-1+0×10k-2 +…+ 0×10+0. Например, 347×103 = (3×102 + 4×10 + 7) ×103 = 3×105 + 4×104 + 7×103 = 3×105 + 4×104 + 7×103 + 0×102 + 0×10 + 0=347000.

Заметим еще, что умножение на число у×10k , где у - однозначное число сводится к умножению на однозначное число у и на число 10k . Например, 52×300 = 52× (3×102) = (52×3) ×102 = 156×102 = 15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428×263. Представим число 263 в виде суммы 2×102 + 6×10 + 3 и запишем произведение 428× (2× 102 + 6×10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428×(2×102) + 428×(6×10) + 428×3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428×2)×102 + (428×6)×10 + 428×3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть х и у - многозначные числа, причем у -bm×10m + bm-1×10m-1 + ... + b0. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: x×y = х×(bm×10m+bm-1×10m-1+ ... +b0) = (x×bm)×10m + (x×bm-1) ×10m-1+ ... + х×b0. Последовательно умножая число х на однозначные числа bm, bm-1,, b0, а затем на 10m, 10m-1, ..., 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х×у.

Сформулируем в общем виде алгоритм умножения числа

х = на число у = .

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х×b0 под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b, числа у и записываем произведение х×b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х×b1 на 10.

4.Продолжаем вычисление произведений до вычисления х×bk.

5. Полученные k + 1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428×3 = (400 + 20 + 8)×3 = 400×3 + 20×3 + 8×3 = 1200 + 60 + 24 = 1284. Основой выполненных преобразований являются:

– представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

– правило умножения суммы на число (или дистрибутивное умножения относительно сложения);

– умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел н однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Упражнения

1. На примере умножения числа 357 на 4 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на однозначное.

2. На примере умножения 452 на 186 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на многозначное.

3. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи умножения чисел и решите их.

а) Земля при обращении вокруг Солнца за сутки проходит примерно 2 505 624 км. Какой путь проходит Земля за 365 дней?

б) В школу привезли 56 пачек книг, по 24 книги в каждой пачке. Сколько всего книг привезли в школу?

4. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение:

а) На элеватор отвезли 472 т овса, ржи на 236 т больше, чем овса, а пшеницы в 4 раза больше, чем овса и ржи вместе. Сколько тонн пшеницы отвезли на элеватор?

б) Столяр делает в день 18 рам, а его помощник на 4 рамы меньше. Сколько рам они сделают за 24 дня, если каждый день будут работать вместе?

5. Как могут рассуждать учащиеся, выполняя следующее задание: «Ширина земельного участка прямоугольной формы равна 24 м. Это в 6 раз меньше его длины. Объясни, что обозначают выражения, записанные по условию задачи, и вычисли их значения: 24×6; 24×(24×6); (24 + 24×6)×6; 24-2; 24×2 + 24×6×2».

6. Выполните умножение чисел, используя запись столбиком, и объясняя каждый шаг алгоритма:

а) 984×27; в) 7040×234;

б)8276×73; г) 4569×357.

7. Используя свойства умножения, найдите наиболее рациональным способом значение выражения:

а) 8×13×4×125×25; г) 124×4 + 116×4;

б) 24×(27×125); д) (3750-125)×8;

в) (88+ 48)×125; е) 1779×1243-779×1243.

8. Зная, что 650×34 = 22100, найдите произведение чисел, не выполняя умножения столбиком:

а) 650×36; 6)650×32; в) 649×34.

9. Найдите и обоснуйте приемы умножения 24 на 35 и, пользуясь ими умножьте на 35 числа: 12, 18, 24, 32, 48, 64.

10. Вычислите рациональным способом значение выражения:

а) (420-394)×405-25×405;

б) 105×209 + (964 - 859)×209×400.

11.Найдите значения выражений 13×11, 27×11, 35×11, 43×11, 54×11. Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа меньше 10, достаточно между цифрами данного числа написать число, равное сумме его цифр?

12. Найдите значение выражений 29×11, 37×11, 47×11, 85×11, 97×11. Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа больше или равна 10, достаточно между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать число, равное разности между суммой его цифр и числом 10?

13. На множестве выражений, приведенных ниже, задано отношение «содержать в произведении цифру 0». Определяет ли оно разбиение этого множества на классы? Если да, то выполните его, не вычисляя произведений.

2602×3 1803×6 17009×4

2602×7 1803×2 17019×4

26002×8 18003×7 17019×7.

Алгоритм деления

 

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0 £ r £ b.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9×6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 - это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45:51 - 45 = 6. Таким образом, 51 =9×5 + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6.Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:

- 51½9 45 5

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 – это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378 = 4q + r, причем остаток r должен удовлетворят условию 0 £ r < b, а неполное частное q - условию 4q£ 378 < 4(q + 1)

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т. е. если 10 < q < 100, то тогда 40 < 4q < 400 и, следовательно, 40 < 378 < 400 что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 - число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4×90 = 360, а 4×100 = 400, и 360 < 378 < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q = 90 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4×(90 + q0) £ 378 < 4×(90q + q0+ 1), откуда 360 + 4q0 £ 378 < 360 + 4(q0 + 1) и 4q0 £ 18 < 4(q0 + 1). Число q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользо­вавшись таблицей умножения. Получаем, что q0 = 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94. Остаток находится вычитанием: 378-4×94 = 2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378-4×94 + 2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

_378½ 4 36 94 _ 18 16

 

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление – значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316 = 52q + r, 0 £ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству . 52q £ 4316 < 52(q+1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено, между числами 10 и 100 (т.е. q- двузначное число), так как 520 < 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52×80 = 4160, а 52×90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

52×(80 + q0) £ 4316 < 52×(80 + q0 + 1),

4160 + 52q0 £ 4316 < 4160 + 52×(q0 + 1),

52q0 £ 156 < 52×(q0 + 1).

Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52×3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

_4316½ 52 416 83 _156 156

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если а = b, то частное q = 1, остаток r = 0.

2. Если а> b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,так как а < 10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и b.

3. Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное b. Перебором находим частное q1 чисел d1 и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q1 под уголком (ниже b).

б) Умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числа d1.

в) Проводим черту под bq1 и находим разность r1 = d1 – bq1.

г) Записываем разность r1 под числом bq1 приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.

д) Если полученное число d2 больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q2 записываем после q1.

е) Если полученное число d2 меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3, большее или равное b. В этом случае записываем после q1 такое же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пп. 1,2 Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что q3 < b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частном, а остаток r = d3.

 

Упражнения

1. Не выполняя деления, определите число цифр частного чисел

а) 486 и 7; в) 5792 и 27;

б) 7243 и 238; г) 43126 и 543.

2. На примере деления числа 867 на 3 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма деления трехзначного числа на однозначное.

3. Обоснуйте процесс деления уголком а на b, если

а) а = 4066, b = 38; б) а = 4816, b= 112.

4. Как, не вычисляя, можно установить, что деление выполнено неправильно, если:

а) 51054:127 = 42; б) 405945:135 = 307?

5. Не вычисляя значений выражений, поставьте знаки > или <.чтобы получились верные неравенства.

а) 1834:7...783:9;

б) 8554:91 ...7488:72;

в) 137532:146... 253242:198;

г) 7248:6...758547:801.

6. Объясните, почему при делении р на k в частном получаются нули, если:

а) p = 753, k = 5; г) р = 613, k = 3;

б) р=1560, k = 6; д) р = 4086, k = 2;

в) p = 84800, k = 4; е) р = 4012, k = 4.

7. Не производя деления, разбейте данное выражение на классы при помощи отношения «иметь в частном одно и тоже число цифр»:

а) 20700:300; г) 20300:700;

б) 5460:60; д) 14640:80;

в) 30720:40; е) 1500:300.

8. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи деления чисел, и решите их.

а) В 125 коробок разложили поровну 3000 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

б) Расфасовали 12 кг 600 г конфет в коробки по 300 г в каждой. Сколько коробок конфет получилось?

9. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение.

а) Туристы совершили экскурсию по реке на катере, проплыв всего 66 км. Сначала 2 ч они плыли со скоростью 18 км/ч, а остальной путь со скоростью 15 км/ч. Сколько всего часов находились в пути туристы?

б) Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов по 6 пачек в каждом. Определите массу сложенного в ящик печенья.

10. Найдите значение первого выражения, а затем используйте его при вычислении значения второго.

а) 45120 : (376×12), б) 241×(1264 : 8),

45120 : (376×3); 241×(1264 : 4).

11. Найдите двумя способами значение выражения.

а) (297 + 405 + 567) : 27; в) 56×(378 : 14);

б)(240×23): 48; г) 15120 : (14×5×18).

12. Найдите значение выражения.

а) 8919 : 9 + 114240 : 21;

б) 1190-35360 : 34 + 271;

в) 8631-(99+ 44352 : 63);

г) 48600×(5045 - 2040) : 243 - (86043:43 + 504)×200;

д) 4880×(546 + 534):122-6390×(8004-6924)×213.




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных