ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Отношение делимости и его свойства

⇐ Предыдущая 83 84 85 86 878889 90 91 92 Следующая ⇒

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, число а делится на число b, если существует такое натура число q, что а= bq.

В этом случае число b, называют делителем числа а, а число а – кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8×3. Можно сказать иначе: 8 – это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.

В том случае, когда а делится на b, пишут: а b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».

Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1× a, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если а b, то b £ а.

Доказательство. Так как а b, то существует такое q Î N, что а = bq и, значит, а - b = bq - b = b×(q - 1). Поскольку q Î N, то q ³ 1. Тогда b×(q- 1) ³ 0 и, следовательно, b £ а.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например, число 13 - простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, – их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24,..., и все они могут быть получены по формуле а = 4 q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости на множестве N обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справедливо равенство а = а× 1. Так как 1 ÎN, то, по определению отношения делимости, a a.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а b и а ¹ b, то

Доказательство. Предположим противное, т. е. что b а. Но тогда а £ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию а b и а ¹ b. Тогда, по той же теореме, b £ а.

Неравенства а £ b и b £ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а b и b с, то а с.

Доказательство. Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b = ср. Но тогда имеем: а = bq = (ср)q = с(рд). Число pq -натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а с.

Теорема 5. (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а₁, а₂, …, а_п делится на натуральное число b, то и их сумма a ₁ + а₂ +... + а_п делится на это число.

Доказательство. Так как а₁ b, то существует такое натуральное число q ₁, что а₁ – bq₁. Так как а₂ b, то существует такое натуральное число q₂, что а₂ = bq₂. Продолжая рассуждения, получим, что если а_п b, то существует такое натуральное число q_п, что а_п = bq_n. Эти равенства позволяют преобразовать сумму а₁ + а₂ +... + а_n в сумму вида bq₁ + bq₂ +... + bq_п. Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q₁ + q₂ +... + q_n обозначим буквой q. Тогда a₁+ а₂ +... + а_п = b(q₁ + q₂ +... + q_п) = bq, т.е. сумма a₁ + а₂ +... + а_п оказалась представленной в виде произведения числа и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а₁ + a₂ +... + а_п делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а₁ и a₂ делятся на b и a₁ ³ а₂, то их разность а₁ - а₂ делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х Î N. делится на b.

Доказательство. Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq) х, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)х = b(qх) и, значит, ах = b(qх), где qх – натуральное число. Согласно определению отношения делимости, ах b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.

Например, произведение 24×976×305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Доказательство. Пусть s = a ₁ + а₂ +... + а_п + с и известно, что

а₁ b, а₂ b,а₃ b,...,а_п b, но . Докажем, что тогда .

Предположим противное, т.е. пусть s. Преобразуем сумму 5 к виду с = 5 - (й| + а₂ +... + а_п). Так как s b по предположению, (a₁+ а₂ + +... + а_п) b согласно признаку делимости суммы, то по теореме о делимости разности с b. Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, .

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2,376 2, 124 2, но .

Теорема 9. Если в произведении аb множитель а делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на тп.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и a делится на b.

Доказательство. Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bс)q, откуда ас - (bq)с и, следовательно, a = bq, т.е a b.

Упражнения

1. Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не ляется делителем числа 70.

2. Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве X = {2, 6, 12, 18, 24}. Как отражены на этом графе свойства данного отношения?

3. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 - делите числа 672. Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполнять деления.

4. Запишите множество делителей числа.

а) 24; б)13; в) 1.

5. На множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6. Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 19 является простым;

б) число 22 является составным.

7. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

8. Верно ли, что:

а) а т и b п Þ аb тп;

б) и Þ ;

в ) аb п Þ а п или b п.

Признаки делимости

Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяю доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десяти ной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9.

Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.

Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число x делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная за оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а_n × 10 ⁿ + a_n _{- 1}10 ⁿ^-1 +... + а ₁×10 + а₀, где а_п, а_п _-1,..., а₁ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а_п ¹ 0 и а₀ принимает значения 0, 2, 4, 6, 8. Докажем, что тогда х 2.

Так как 10 2, то 10² 2, 10³ 2,..., 10 ⁿ 2 и, значит, (а_n ×10 ⁿ + а_n_-1× 10 ⁿ^-1 + … + a₁× 10) 2. По условию а₀ тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Запишем равенство х = а_n ×10 ⁿ + а_п-1× 10 ⁿ^-1 +... + а₁ ×10 + а₀ таком виде: a₀ = х -(а_n× 10 ⁿ^-1 + а_n_-1 ×10 ⁿ^-1 +... + а₁× 10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а₀ 2, поскольку х 2 и (а_n ×10 ⁿ + а_n _{- 1}×10 ⁿ^-1 +... + а ₁×10) 2. Чтобы однозначное число а₀ делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = a_n ×10 ⁿ + а_n_-1 ×10 ⁿ^-1 +...+ а₁× 10 + а₀ и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х 4.

Так как 100 4, то (а_n ×10 ⁿ + а_n_-1 ×10 'ⁿ^-1+...+ а₂ ×10²) 4. По условию, а₁ ×10 + а₀ (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку Делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже длится на 4.

Запишем равенство х = а_n× 10 ⁿ + а_п_-1 ×10 ⁿ^-1 +...+ а ₁×10+ а₀ в таком виде: a₁ ×10 + a₀ = x – (a_n× 10 ⁿ + a_n_-1× 10 ⁿ^-1 + …+a₂ ×10²). Так как х 4 и (a_n× 10 ⁿ + a_n_-1 ×10 ⁿ^-1 +...+ а ₂×10²) 4, то по теореме о делимости разности (a₁× 10 + a₀) 4. Но выражение а₁ ×10 +а₀ есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Например, число 157872 делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 72, которое делится на 4. Число 987641 не делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 41, которое не делится на 4.

Теорема 14 (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.

Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10 ⁿ - 1 делятся на 9. Действительно, 10 ⁿ - 1 = (9×10 ⁿ^-1 + 10 ⁿ ^{- 1}) - 1 = (9×10 ⁿ^-1 + 9×10 ⁿ^-2 + 10 ⁿ^-2)- 1 = (9×10 ⁿ^-1 + 9×10 ⁿ^- ² +... + 10) - 1 = 9×10 ⁿ^-1 + 9×10 ⁿ^-2 +... + 9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9 значит, и число 10 ⁿ - 1 делится на 9.

Пусть число х = а_п ×10 ⁿ + а_п_-1 ×10 ⁿ^-1 +... +а₁× 10 +а₀ и (а_п + а_n_-1 +…+ а₁ + а₀) 9. Докажем, что тогда x 9.

Преобразуем сумму а_п× 10 ⁿ + а_n_-1 ×10 ⁿ^-1 +... + а₁× 10 + а₀, прибавив и вычтя из нее выражение а_п + а_п-1+...+а₁ + а₀ и записав результат в таком виде: х = (а_n ×10 ⁿ - а_п) + (а_n_-1 ×10 ⁿ^-1 - а_п-1) +... + (а₁× 10 ¹- а₁) + (а₀-а₀) + (а_п + а_n_-1 +... + а₁ + а₀) = а_n ×(10 ⁿ - 1) + а_n_-1 ×(10 ⁿ^-1 - 1) +...+ а ₁×(10-1) + (а_n + a_n_-1 +...+ а₁ + а ₀).

В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:

а_n ×(10 ⁿ – 1) 9,так как (10 ⁿ -1) 9,

а_п_-1 ×(10 ⁿ^-1 - 1) 9, так как (10 ⁿ^-1 - 1) 9 и т.д.

а₁ ×(10-1) 9,таккак(10-1) 9,

(а_п + а_n_-1 +...+ a₁ + а₀) 9 по условию.

Следовательно, х 9.

Докажем обратное, т.е. если х 9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9.

Равенство х = a_n ×10 ⁿ + a_n_-1 ×10 ⁿ^-1 +...+ а₁× 10 + а₀ запишем в таком виде: а_п + а_п-1+...+ а₁ + а ₀= х - (а_n ×(10 ⁿ - 1) + a_n_-1× 10 ⁿ^-1 - 1)+...+ a₁× (10 - 1)). Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (а_п + а_п-1 +...+ а, + а₀) 9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9, что и требовалось доказать.

Например, число 34578 делится на 9, так как сумма его цифр, равная 27, делится на 9. Число 130542 не делится 9, так как сумма его цифр, равная 15,не делится на 9.

Теорема 15 (признак делимости на 3). Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 3.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству признака делимости на 9.

Мы рассмотрели признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 9. Из школьного курса математики известен еще ряд других, например, на10 и 25. Конечно, этого недостаточно, чтобы решать вопросы делимости. Существует общий признак делимости для чисел, записанных в любой позиционной системе счисления, открытый в XVII веке французским математиком Паскалем. Мы рассмотрим его для случая, когда основанием системы счисления является число 10.

Теорема 16 (признак делимости Паскаля). Число

х = а_n× 10 ⁿ + а_n_-1× 10 ⁿ^-1 +... + а₁× 10 + а₀ (1)

делится на число b тогда и только тогда, когда на b делится сумма а_n×r_п + а_п-1×r_п-1 +... + а₁×r₁ + а₀, где r₁, r₂,..., r_n - остатки от деления на b разрядных единиц 10, 10²,..., 10 ⁿ.

Доказательство. Разделим на b каждую из разрядных единиц числах, получим: 10 = bq₁ + r₁, 10² = bq₂ + r ₂,..., 10 ⁿ^-1 = bq_n_-1 + r_п-1, 10 ⁿ = bq_п + r_n, где q₁, q₂,..., q_n_-1, q_п - частные, а r₁, r₂,..., r_n_-1, r_п - остатки.

Подставим в равенство (1) вместо разрядных единиц соответствующие выражения и, используя свойства сложения и умножения, выполним преобразования: х = а_п ×(b × q_n + r_п) +а_п-1 ×(b × q_n_-1 + r_n_-1) +... + + а₁ (b×q₁ + r₁) + а₀ = (а_п × q_п + а_n_-1 × q_п-1 +... + а₁ × q₁) × b + (а_n × r_п + а_п-1 × r_п-1 +...+ а₁ × r₁ + а₀). Если сумму а_n × r_n + а_n_-1 × r_п-1 +... + а₁ × r₁ + а₀ обозначить буквой s, то будем иметь: х = (а_n × q_n + а_n_-1 × q_п-1 +... + а₁ × q₁) × b + s. Разделим s на b: s = bq + r, где 0 £ r < b. Тогда х = (а_n × q_n + а_n_-1 × q_n_-1 +...+ а₁ × q₁) × b + (b × q + r) = (а_n × q_п +а_n_-1 × q_n_-1 +...+ а₁ × q₁ + q) × b + r. Короче: х = b × Q + r, где Q = а_n × q_п + а_n_-1 × q_n_-1 +...+а₁ × q₁ + q и 0 £ r < b. Равенство х = b × Q + r означает, что r является остатком при делении х на b, причем r - число единственное согласно теореме о единственности частного и остатка при делении натуральных чисел. Таким образом, установлено, что при делении натурального числа х = а_n ×10 ⁿ + а_n_-1 10 ⁿ^-1 +... + а₁ ×10 + а₀ на натуральное число b получается такой же остаток r, как и при делении на число b суммы s. Теорема доказана.

Используя этот признак, выведем, например, известный признак Делимости на 3 в десятичной системе счисления.

Найдем остатки от деления разрядных единиц на 3:

10 = 3×3+1(r₁= 1);

10² = 3×33 + 1(r ₂= 1);

10³= 10²× 10 = (3×33 + 1) × (3×3+ 1) = 3 q₃ + 1(r₃= 1).

На основании рассмотренных случаев можно предположить, что (" _n Î N) 10 ⁿ = 3q _n + 1. Убедиться в истинности этого утверждения можно, если воспользоваться методом математической индукции.

Подставив полученные остатки в сумму, обозначенную при доказательстве признака делимости Паскаля буквой s, получим: s = а_п ×1 + а_n_-1 × r ×1 +...+ а₁ ×1 + а₀ = а_n + а _n_-1 +...+ а₁ + а₀. Согласно этому признаку, если данная сумма делится на 3, то и число х делится на 3 Но а_п + a_n_-1 +…+ а₁ + а₀ - это сумма цифр в записи числа х. Получаем утверждение: если сумма цифр в десятичной записи числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Докажем теперь, что если число х делится на 3, то сумма цифр его десятичной записи делится на 3. Запишем равенство х = a_n ×10 ⁿ + а_п-1 ×10 ⁿ^-1 +... + а₁ ×10 + а₀ в таком виде: a_n + а_n_-1 +…+ а₁ + a₀ = х - (а_n × (10 ⁿ -1) + а_n_-1 × (10 ⁿ^-1 -1) +...+ а₁ × (10-1)). Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 3 то на основании признака делимости разности (а_п + а_п-1 +...+ а₁ + а₀) 3 т.е. сумма цифр десятичной записи числа х делится на 3. Таким образов доказано, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится на 3.

Используя признак делимости Паскаля, можно доказать следующий признак делимости чисел на 11: для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой его цифр стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11. Обычно при нахождении разности из большего числа вычитают меньшее. Например, число 540309 делится на 11 так как(4 + 3 + 9)-(5 + 0 + 0) = 11, а 11:11. Число 236 не делится на 11 поскольку (2 + 6) - 3 = 5, но 5 не кратно 11.

Упражнения

1. Выпишите из ряда чисел 132, 1050, 1114, 364, 12000 те, которые:

а) делятся на 2;

б) делятся на 4;

в) делятся на 2 и не делятся на 4;

г) делятся и на 2 и на 4.

2. Верно ли утверждение:

а) Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4?

б) Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 4?

3. Из ряда чисел 72, 312,522,483,1197 выпишите те, которые:

а) делятся на 3;

б) делятся на 9;

в) делятся на 3 и не делятся на 9;

г) делятся и на 3 и на 9.

Сделайте вывод о взаимосвязи делимости на 3 и на 9. Докажите его.

4. Докажите признаки делимости на 5 и на 3.

5. Сформулируйте признак делимости на 25 и докажите его.

6. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выражения на 4:

а) 284 + 1440 + 113; в) 284 + 1441 + 113;

б) 284 + 1440 + 792224; г) 284 + 1441 + 113+ 164.

7. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9.

а) 360- 144; б) 946-540; в) 30240-97.

8. Верно ли, что для делимости числа x на 8 в десятичной системе счисления необходимо и достаточно, чтобы на 8 делилось трехзначное число, образованное последними тремя цифрами десятичной записи числа х?

⇐ Предыдущая 83 84 85 86 878889 90 91 92 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2025 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных