Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Рассматривая смысл суммы и разности натуральных чисел - мер величин, мы установили, что сложение таких чисел связано со сложением величин, а вычитание - с вычитанием величин. И естественно возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деление натуральных чисел? Чтобы ответить на него, проанализируем задачу: «Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?»

В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена Шкетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы - килограмм при условии, что 1 пакет - это 2 кг муки.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки единице - килограмм, можно представить в таком виде:

3пак. =3×пак. =3×(2 кг) = 3×2×кг = (3×2) кг.

Видим что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а×b.

Доказательство. По условию отрезок х состоит из а отрезков равных е, а отрезок е - из b отрезков, равных е₁ (рис. 122, а). Обозначим длину отрезка х буквой X, длину отрезка е - буквой Е, длину отрезка e₁ - буквой Е₁. Так как по условию х = а e = то Х = a×E, E = b×E₁. Нетрудно видеть, что число частей отрезка х, равных е ₁, будет равно а × b, так как х =

Это означает, что мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна a× b Можно записать, что X = а×Е = а×(b× Е₁) = (а×b)×Е₁.

Из этой теоремы следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b - мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а×b- это мера длины отрезка х при единице длины Е₁:

а×b = т_Е(Х)×т_Е1(Е) = т_Е1(Х).

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. И поэтому при построении вспомогательных моделей текстовых задач с величинами можно использовать отрезки (что, впрочем, мы делали и раньше). Кроме того, условимся, что в тех случаях, когда это не ведет к путанице, отрезок х и его длину X не различать. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Задача 1. Объяснить смысл произведения 4×3, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 = т_E(Х), 3 = т_Е1(Е), где X - измеряемая величина, Е - первоначальная единица величины, а Е₁ - новая единица в чины. Тогда, согласно доказанной теореме, 4×3 = т_Е1(Х), т.е. 4×3- это численное значение длины X при единице длины Е₁. Рассмотрим рисунок 122,б. Пусть Х-длина отрезка. Если Е- первоначальная единица длины, то X = 4×Е. Если Е₁ - новая единица длины, такая, что Е = 3Е₁, то Х = 4× Е = 4×(3× Е =(4×3) Е ₁.

Задача 2. Обосновать выбор действия при решении задачи. «В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?»

Решение. В задаче речь идет о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины указанной единице. Требуется найти численное значение этой же «личины при новой единице - ручка, причем известно, что коробка - это 6 ручек. Тогда 3 кор. =3×кор. = 3×(6руч.) = 3(6×руч.) = (3×6)руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной еди­ницы величины (коробка) к другой - ручка.

Чтобы установить смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, рассмотрим задачу: «6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?»

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы - килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы - пакета, причем известно, что 1 пакет - это 2 кг.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице - пакет, можно представить в таком виде:

6 кг = 6×кг = 6× = = (6:2) пак.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения) от одной единицы массы к другой, более крупной.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длинны отрезка х при единице длины Е₁ равна а: b.

Данная теорема доказывается аналогично рассмотренной выше. Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число b - мера новой единицы длины Е₁ при единице длины Е, то частное а:b- это мера длины отрезка х при единице длины Е₁: а:b=т_Е(Х):т_Е(Е₁)=т_Е1(Х).

Аналогичный смысл имеет частное натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Заметим, что такая трактовка частного возможна только для деления по содержанию.

Задача 3. Обосновать выбор действия при решении задачи. «Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?»

Решение. В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины – метр, и известно числе значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей – платьем, причём известно, что платье – это 4 м, откуда метр – это платья.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения длины при единице платье, можно представить в таком виде:

12м = 12×м = 12× = ×пл. = (12:4)пл.

Таким образом, ответ на вопрос задачи находится при помощи деления, поскольку в задаче нужно перейти от одной единицы величины (метр) к другой (платье), более крупной.

Итак, умножение и деление натуральных чисел – мер величин оказалось связанным с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновывать иначе, используя понятие умножения и деления величины на натуральное число.

Напомним, что умножить величину А на натуральное число х -это значит получить такую величину В того же рода, что В=х×А или В = А×х,

причем В = .

Чтобы найти численное значение величины В при единице величины Е, достаточно численное значение величины А, полученное при той же единице Е, умножить на число х, т.е. если В = А×х, то т_Е(В) = т_Е(А)×х.

Рассмотрим, например, задачу: «Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т. е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 2×3 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем и ответ на вопрос задачи.

Если В = А×х, где х - натуральное число, В и А - величины одгого рода, то с помощью деления решают две задачи:

– зная А и В, находят число х (х = В:А), причем х - т_Е(В):т_Е(А); это деление по содержанию;

– зная В и х, находят А (А = В:х), причем т_Е(А) = т_Е(В):х; это деление на равные части.

С этих позиций выбор действия при решении задачи «6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е. надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получиться число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.

Пользуясь описанным подходом к трактовке умножения и деления натуральных чисел, можно обосновывать выбор действия и при решении текстовых задач с отношениями «больше в» и «меньше в».

Задача 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?»

Решение. В задаче рассматриваются масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой.

Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи (рис. 123), то можно сказать, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3 на 2, получим ответ на вопрос задачи.

Упражнения

1. Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи умножения:

а) В одной корзине 5 кг яблок. Сколько килограммов яблок в трех таких корзинах?

б) За один день Саша прочитывает 4 страницы книги. Сколько страниц в книге, если Саша прочитал ее за 6 дней.

2. Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи деления:

а) 8кг варенья надо разложить в банки по 2 кг в каждую. Сколько получится банок?

б) На садовом участке посадили 15 кустов смородины по 5 кустов в каждом ряду. Сколько было рядов?

3. Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:

а) С трех овец настригли 18 кг шерсти. Сколько шерсти можно получить с 5 таких овец?

б) В пятиэтажном доме 80 квартир. На каждом этаже в подъезде по 4 квартиры. Сколько подъездов в этом доме?

в) Когда из гаража выехали 18 машин, в нем осталось машин раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: