Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Определение. Если а, b- целые неотрицательные числа, то произведением а×b называется число, удовлетворяющее следующим условиям.




Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

1)а b = , если b > 1;

2)а×b = а, если b = 1;

3)а×b = 0, если b= 0.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку. Если множества А1, А2, ..., Аb имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1 È А2 È ... È Аb содержит а×b элементов.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций а×b(b>1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

a×b = n(A1ÈA2È…ÈAb), если n(A1)-n(A2) =…= n(Ab) = a и A1, A2,…, Ab попарно не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Еслип(А1) = п(А2) =п(А3) = 4, то п(А1 È А2 È А3) = п(А1) + + п(А2) + п(А3) = 4 + 4 + 4=4×3. Произведение 4×3 является математической моделью данной задачи. Так как 4×3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: п(А´В) =п(А)×п(В).

Доказательство. Пусть даны множества А = {а1, а2, ..., аn}, В= {b1, b2, ..., bk}, причем k > 1. Тогда множество А´В состоит из пар вида (аi, bj), где 1 £ i £ п, 1 £ j£ k. Разобьем множество А´В на такие подмножества А1, А2, ..., Аk, что подмножество Аj состоит из пар вида 1, bj;), (а2, bj),..., (ап, b1). Число таких подмножеств равно k, т.е. числу элементов в множестве В. Каждое множество Аj состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же чару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А´В равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно п, т.е. произведению чисел п и k. Таким образом, равенство п(А´В) = п(А)×п(В) доказано при k > 1. При k = 1 оно тоже верно, так как этом случае В содержит один элемент, например, В = {b}, а тогда A´B состоит из пар вида 1, b), (а2, b),... (аn, b), число которых равно п. Поскольку п(А) = п, п(В) = 1, то и в этом случае имеем: п(А´B)=п(А)×п(В)=п×1=п.

При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В = Æ и п(А´Æ) = n(An(Æ) = 0 = 0.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а×b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b.

а×b=п(А)×п(В)=п{А´В).

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства а b= b×а состоит в том, что хотя множества А´В и B´A различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества А´В можно поставить в соответствие единственную пару (b,а) из множества В´А, и каждая пара из множества В´А сопоставляется только одной паре из множества А´В. Значит, п(А´В) = п(В´А) и поэтому а×b = b×а.

Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ас– социативного свойства умножения. Множества А´(В´С) и ´В)´С различны, но они являются равномощными: каждой паре (а,(b,с)) из множества А´´С) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b, с) из множества ´В)´С, и каждая пара из множества ´В)´С сопоставляется единственной паре из множества А´(В´С). Поэтому п(А´´С)) = п((А´В)´С) и, следовательно, а(bс) =(аb)с.

Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А ´и С) = ´ В) È ´ С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства А´(В\С) = (А´В)\(А´С).

В начальных курсах математики произведение целых неотрицательных чисел чаще всего определяют через сумму. Случаи а × 1 = а и а × 0 = 0 принимаются по определению.

Упражнения

1. Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков теоретико-множественный смысл произведения 2×4.

2. Раскройте теоретико-множественный смысл произведения 2×4, используя определение произведения чисел через декартово произведение множеств.

3. Докажите, что дистрибутивность умножения относительна сложения вытекает из равенства А ´È С) = (А ´ В) È ´ C), а относительно вычитания - из равенства \ В) ´ С) = ´ В) \ (А ´ С).

4. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи умножения.

а) На каждую из трех тарелок положили по 2 яблока. Сколько всего яблок положили?

б) Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев, по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?

5. Используя теоретико-множественный смысл действий над числами, обоснуйте выбор действий при решении задач.

а) Первоклассники заняли в кинотеатре 3 ряда, второклассники – 4 ряда, а третьеклассники – 5 рядов. Сколько учеников начальных классов было в кинотеатре, если в каждом ряду они занимали по 9 мест?

б) В саду 8 рядов деревьев, по 9 в каждом. Из них 39 яблонь, 18 груш, остальные сливы. Сколько сливовых деревьев в саду?

6. Какие рассуждения учащихся вы будете считать правильными выполнении ими следующих заданий.

а) Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов тюльпанов, по 9 в каждом, а Надя 9 рядов по 8 тюльпанов.

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?

Пользуясь данным условием, объясните, что означают выражения:

72 + 72; 72×2; 8×9-8.

б) В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?

Объясните, что означают выражения, составленные по условию данной задачи: 9×6; 8×2; 8×6; 9-8; (9-8)×2; (9-8)×6.

 







Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2022 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных