Определение. Если а, b- целые неотрицательные числа, то произведением а×b называется число, удовлетворяющее следующим условиям.

3) а×b = 0, если b = 0.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку. Если множества А₁, А₂,..., А_b имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А₁ È А₂ È... È А_b содержит а×b элементов.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций а×b(b>1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

a×b = n(A₁ È A₂ È…È A_b), если n (A₁)- n (A₂) =…= n (A_b) = a и A₁, A₂,…, A_b попарно не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если п(А₁) = п(А₂) =п(А₃) = 4, то п(А₁ È А₂ È А₃) = п(А₁) + + п(А₂) + п(А₃) = 4 + 4 + 4=4×3. Произведение 4×3 является математической моделью данной задачи. Так как 4×3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: п(А ´ В) =п(А)×п(В).

Доказательство. Пусть даны множества А = {а₁, а₂,..., а_n}, В= {b₁, b₂,..., b_k}, причем k > 1. Тогда множество А ´ В состоит из пар вида (а_i, b_j), где 1 £ i £ п, 1 £ j£ k. Разобьем множество А ´ В на такие подмножества А₁, А₂,..., А_k, что подмножество А_j состоит из пар вида (а₁, b_j;), (а₂, b_j),..., (а_п, b₁). Число таких подмножеств равно k, т.е. числу элементов в множестве В. Каждое множество А_j состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же чару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А ´ В равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно п, т.е. произведению чисел п и k. Таким образом, равенство п(А ´ В) = п(А)×п(В) доказано при k > 1. При k = 1 оно тоже верно, так как этом случае В содержит один элемент, например, В = {b}, а тогда A ´ B состоит из пар вида (а₁, b), (а₂, b),... (а_n, b), число которых равно п. Поскольку п(А) = п, п(В) = 1, то и в этом случае имеем: п(А´B)=п(А)×п(В)=п×1=п.

При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В = Æ и п(А ´Æ ) = n (A)× n (Æ) = a× 0 = 0.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а×b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b.

а×b=п(А)×п(В)=п{А ´ В).

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства а b= b×а состоит в том, что хотя множества А ´ В и B ´ A различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества А ´ В можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества В ´ А, и каждая пара из множества В ´ А сопоставляется только одной паре из множества А ´ В. Значит, п(А ´ В) = п(В ´ А) и поэтому а×b = b×а.

Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ас– социативного свойства умножения. Множества А ´ (В´С) и (А ´ В) ´ С различны, но они являются равномощными: каждой паре (а,(b,с)) из множества А ´ (В ´ С) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b, с) из множества (А ´ В) ´ С, и каждая пара из множества (А ´ В) ´ С сопоставляется единственной паре из множества А ´(В ´ С). Поэтому п(А ´ (В ´ С)) = п((А ´ В) ´ С) и, следовательно, а(bс) =(аb)с.

Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А ´ (В и С) = (А ´ В) È (А ´ С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства А ´ (В\С) = (А ´ В)\(А ´ С).

В начальных курсах математики произведение целых неотрицательных чисел чаще всего определяют через сумму. Случаи а × 1 = а и а × 0 = 0 принимаются по определению.

Упражнения

1. Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков теоретико-множественный смысл произведения 2×4.

2. Раскройте теоретико-множественный смысл произведения 2×4, используя определение произведения чисел через декартово произведение множеств.

3. Докажите, что дистрибутивность умножения относительна сложения вытекает из равенства А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ C), а относительно вычитания - из равенства (А \ В) ´ С) = (А ´ В) \ (А ´ С).

4. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи умножения.

а) На каждую из трех тарелок положили по 2 яблока. Сколько всего яблок положили?

б) Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев, по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?

5. Используя теоретико-множественный смысл действий над числами, обоснуйте выбор действий при решении задач.

а) Первоклассники заняли в кинотеатре 3 ряда, второклассники – 4 ряда, а третьеклассники – 5 рядов. Сколько учеников начальных классов было в кинотеатре, если в каждом ряду они занимали по 9 мест?

б ) В саду 8 рядов деревьев, по 9 в каждом. Из них 39 яблонь, 18 груш, остальные сливы. Сколько сливовых деревьев в саду?

6. Какие рассуждения учащихся вы будете считать правильными выполнении ими следующих заданий.

а) Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов тюльпанов, по 9 в каждом, а Надя 9 рядов по 8 тюльпанов.

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?

Пользуясь данным условием, объясните, что означают выражения:

72 + 72; 72×2; 8×9-8.

б) В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?

Объясните, что означают выражения, составленные по условию данной задачи: 9×6; 8×2; 8×6; 9-8; (9-8)×2; (9-8)×6.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: