Теоретико-множественный смысл произведения

Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определение умножения, оно связано со сложением одинаковых слагаемых. Покажем, что оно вытекает из первого.

Теорема 4. Если b > 1, то произведение чисел а и b равно сумм слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое и которых равно а, через а º b. И, кроме того, положим, что а º1 = a. Тогда выражение а º (b + 1) будет означать, что рассматривается сумма b + 1 слагаемого, каждое из которых равно а, т.е. а°(b + 1)= . Сумму а + а +... + а + а можно представить в виде выражения , которое равно а º b + а. Значит, операция а º b обладает теми же свойствами, что и умножение, определенное в аксиоматической теории, а именно, а º1 = а и а º(b + 1) = а º b+а. В силу единственности умножения получаем, что а º b =а×b.

Итак, если а и b - натуральные числа и b > 1, то произведение а b можно рассматривать как сумму b слагаемых, каждое из которых равно а.

Умножение на 1 определяется так: а× 1 = а.

Если умножение рассматривается на множестве целых неотрицательных чисел, то к этим двум случаем надо добавить третий - определение умножения на нуль: а×0 = 0.

Таким образом, получаем следующее определение умножения целых неотрицательных чисел.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: