Теоретико-множественный смысл суммы

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5 + 4.

Теорема 2. Пусть А и В- конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем п(А È В) = п(А)+п(В).

Доказательство. Докажем сначала, что если а и b - натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка натурального ряда N _b на множество X таких чисел, что а + 1 £ х £ а + b. Действительно, если поставить в соответствие числу с Î N _b число с + a, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка N _b на множество X. Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N₅ и X = {4, 5, 6, 7, 8} может быт установлено так: числу с Î N₅ сопоставим число х = 3 + с: числу 1–число 3 + 1 = 4, числу 2 - число 3 + 2 = 5 и т.д., числу 5 - число 3 + 5 = 8.

Пусть п(А) = а, п(В) = b. Тогда существуют взаимно однозначные отображения А на N _а и В на N _b. Но, согласно доказанному выше, отрезок N _b можно взаимно однозначно отобразить на множество X таких чисел, что а + 1£ х £ а + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на X. Отображая взаимно однозначно множество А на N _a, множество В - на X, получаем взаимно однозначное отображение множества А È В на отрезок N _a+b. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве А È В. Значит, в множестве А È В имеется а + b элементов, что и требовалось доказать.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = п(А), b = п(В):

а + b= п(А) + п(В) = n (A È В), если А о В = 0.

Выясним теперь, каков теоретико-множественный смысл равенства a + 0 =а. Если а =п{А), 0 = n (Æ), то, согласно теореме 2, а + 0 =п(А) + n (Æ) = п(А È Æ). Но, как известно, А È Æ = А, следовательно, п(А È Æ) = п(А), откуда а + 0 = а.

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так, коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство А È В = В È А. Действительно, если а = п(А), b= п(B) и А Ç В = Æ, то а + b = п(А È В) = п(В È А)=b + а.

Аналогично можно показать, что ассоциативность сложения вытекает из равенства: (А È В) È С = А È (В È С). Действительно, если а =п(А), b = п(В), с=п(С) и А Ç В = Æ, А Ç С = Æ, В Ç С = Æ, то (a + b) + с = п((АÈВ) È С) = п(А È (B È С)) =п(А) +п(В È С)=а + (b + с).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновывать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Маша - 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(А) = 3, п(В) = 4 и А Ç В = Æ, то п(А È В) = 3 + 4. Сумма 3 + 4 –это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 = 7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.

Упражнения

1. Каков теоретико-множественный смысл суммы:

а) 3 + 5; б) 0 + 4; в) 0 + 0.

2. Дайте теоретико-множественное истолкование суммы k слагаемых и, используя полученный вывод, объясните теоретико-множественных смысл суммы:

а) 3 + 4 + 2; б) 1 + 2 + 3 + 4.

3. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложением?

а) Дима сорвал 8 слив, Нина - 4. Сколько всего слив сорвали Дима и Нина вместе?

б) Из коробки взяли 6 красных карандашей и 4 синих. Сколько всего карандашей взяли из коробки?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: