Упорядоченность множества натуральных чисел

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b> а.

Число а - b называется разностью чисел а и b, число а - уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.

Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с=а, а это значит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т. е. разность а - b существует.

Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существует два различ­ных значения разности чисел а и b: а - b = с, и а - b - с₂, причем с₁ ¹ с_2. Тогда, по определению разности, имеем: а = b + с, и а = b + с. Отсюда следует, что b + с₁ = b + с₂, и на основании теоремы 17 заключаем, Что с₁ = с₂. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Теорема 21. Пусть а, b и с - натуральные числа.

а) Если а > с, то (а + b) - с = (а - с) + b.

б) Если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с).

в) Если а > с и b > с, то можно использовать любую из данных формул. Доказательство. В случае а) разность чисел а и с существует, так как а > с. Обозначим ее через х: а - с = х, откуда а = с + х. Если (а + b) - с = у, то, по определению разности, а + b = с + у. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + у. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у. Преобразуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим: х + b = у. Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - с) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (a + b) - с = (а - с) + b.

Аналогично проводится доказательство и в случае б).

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Теорема 22. Пусть а, b и с – натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - с) - b.

Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.

Теорему 22 можно сформулировать в виде правила: для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Вначальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуждают так: «Вычесть из 40 число 16 – это значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит, 40 - 16 = 24».

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных приемов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом:

а)(40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46;

б)(40 + 16) - 10 = 40 + (16 - 10) = 40 + 6 = 46.

Число а:b называется частным чисел а и b, число а - делимым, число b - делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.

Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b < а.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b суще­ствует, т.е. есть такое натуральное число с, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.

Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.

Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а + b): с = а: с + b: с.

Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х - а:с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у=b:с, что b = су. Но тогда а + b=сх+су = с(х + у). Это значит, что а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно х + у, т.е. а: с + b:с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на с, причем частное, получаемое при делении разности на число с, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а-b):с - а:с-b:с.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, и числа b: (а×b):с = (а:с)×b.

Доказательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а: с = х, откуда а = сх. Умножив обе части этого равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх)b = с(хb). Отсюда (аb): с =хb = (а: с)b.

Теорему можно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

В начальном обучении математике определение деления как операции, обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3=48. Следовательно, 48:16 = 3».