Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Упорядоченность множества натуральных чисел




 

Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиоматической теории требуют, чтобы это отношение было не только определено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

Определение.Число а меньше числа b(а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b> а.

Теорема 12.Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а=b, а>b, а<b.

Доказательство этой теоремы мы опускаем. Из этой теоремы вытекает, что если а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.

Теорема 13.Если а <b и b < с, то а < с.

Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитив­ности отношения «меньше».

Так как а < b и b < с, то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа k и l, что b=а+k и с = b + l. Но тогда с = (a + k) + l и на основании свойства ассоциативности сложения получаем: с = а + (k + l). Поскольку k + lнатуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.

Теорема 14.Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисимметричности отношения «меньше».

Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не выполняется отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такое натуральное число с, что а + с - а, а это противоречит теореме 6.

Докажем теперь, что если а < b, то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b, то b < а выполняется. Но из этих двух неравенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.

Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел - линейно упорядоченным множеством.

Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.

Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. 1 < а для любого натурального числа а ¹ 1.

Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а ¹ 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b' = b + 1 = 1 + b, т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натуральное число равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.

Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.

Теорема 16.

1) а = b => а + с = b + с и ас = bс;

2) а< b => а + с < b + с и ас < bс;

3) а> b => а + с > b + с и аc > bс.

Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения выте­кает из единственности сложения и умножения.

2) Если а < b, то существует такое натуральное число k, что а +k = b. Тогда b + с = (а + k) + с = а + (k + с) = а + (с + k) = (а + с) + k. Равенство b + с = (а + с)+k означает, что а + с < b + с. Точно так же доказывается, что а < b => ас<bс.

3) Доказывается аналогично.

Теорема 17 (обратная теореме 16).

1) а + с=b + с или ас= bс => а = b;

2) а + с<b + с или ас < bс => а < b;

3) а + с>b + с или ас > bс => а > b.

Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а<b. Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а=b, так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема 16). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.

Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.

Теорема 18. Для любых натуральных чисел а и b существует та кое натуральное число п, что пb > а.

Доказательство. Для любого а найдется такое число и, что и > а Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравенства п > а и b > 1, получаем пb> а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим бездоказательства.

1. Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а < п < а + 1. Это свойство называется свойством дискретности множества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2. Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число.

3. Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержащееся в данном множестве М, - число 10.

Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (ив ряде случаев доказать) значительное число свойств множества натуральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7, так как 9 - это 7 + 2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Упражнения

1. Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?

2. Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

3. Докажите, что если а,b,с - натуральные числа, то:

a) а<b Þ ас < bс;

б) а + с<b + с => а < b.

4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут неявно использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя вычислений»:

а) 27+ 8 ... 27 + 18;

б)27×8 ... 27×18.

5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:

а) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.

б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300 (800, 609, 999).

в) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.

 

Вычитание

 

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а - b называется разностьючисел а и b, число а - уменьшаемым,а число b - вычитаемым.

Теорема 19.Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.

Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с=а, а это значит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т. е. разность а - b существует.

Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существует два различ­ных значения разности чисел а и b: а - b = с, и а - b - с2, причем с1 ¹ с2. Тогда, по определению разности, имеем: а = b + с, и а = b + с. Отсюда следует, что b + с1 = b + с2, и на основании теоремы 17 заключаем, Что с1 = с2. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Теорема 21.Пусть а, b и с - натуральные числа.

а) Если а > с, то + b) - с = - с) + b.

б) Если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с).

в) Если а > с и b > с, то можно использовать любую из данных формул. Доказательство. В случае а) разность чисел а и с существует, так как а > с. Обозначим ее через х: а - с = х, откуда а = с + х. Если (а + b) - с = у, то, по определению разности, а + b = с + у. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + у. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у. Преобразуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим: х + b = у. Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - с) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (a + b) - с = (а - с) + b.

Аналогично проводится доказательство и в случае б).

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Теорема 22.Пусть а, b и с – натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - с) - b.

Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.

Теорему 22 можно сформулировать в виде правила: для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Вначальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуждают так: «Вычесть из 40 число 16 – это значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит, 40 - 16 = 24».

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных приемов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом:

а)(40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46;

б)(40 + 16) - 10 = 40 + (16 - 10) = 40 + 6 = 46.

Упражнения

 

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?

2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее переформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?

3. Докажите, что:

а)если b> с, то (а + b) - с = а + (b - с);

б)если а > b + с, то а – (b + с) = (а - b) - с.

4.Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:

а) (50+ 16)-14; г) 50 + (16-14);

б) (50-14)+ 16; д) 50 -(16- 14);

в) (50-14)-16; е) (50 + 14)-16.

 

а) 50-(16+ 14); г) (50-14) + 16;

б) (50-16)+ 14; д) (50-14)-16;

в) (50- 16)- 14; е) 50-16-14.

5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислений, изучаемых в начальном курсематематики:

а) 12-5

 

12-2-312-5 = 7

б) 16-7 = 16-6-ÿ;

в) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6.Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида а-b-с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

7.Докажите, что при b < а и любых натуральных с верно равенство (a-b)с -ас-bс.

Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.

8.Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.

а) 7865×6-7865×5; б)957×11-957; в) 12×36-7×36.

Деление

 

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а:b = с тогда и только тогда, когда b×c = а.

Число а:b называется частнымчисел а и b, число а - делимым, число b - делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.

Теорема 23.Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b < а.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b суще­ствует, т.е. есть такое натуральное число с, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.

Теорема 24.Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.

Теорема 25.Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а + b):с = а:с + b:с.

Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х - а:с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у=b:с, что b = су. Но тогда а + b=сх+су = с(х + у). Это значит, что а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно х + у, т.е. а:с + b:с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Теорема 26.Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на с, причем частное, получаемое при делении разности на число с, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а-b):с - а:с-b:с.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Теорема 27.Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, и числа b: (а×b):с = (а:с)×b.

Доказательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножив обе части этого равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх)b = с(хb). Отсюда (аb):с =хb = (а:с)b.

Теорему можно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

В начальном обучении математике определение деления как операции, обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3=48. Следовательно, 48:16 = 3».

 

Упражнения

 

1.Докажите, что:

а)если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно;

б)если числа а и b делятся на с и а > b, то (а - b):с = а:с - b:с.

2.Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:

а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2-7)= 56:7:2;

в) 850:170 = 850:10:17.

Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.

3. Какие свойства деления являются теоретической основой для выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:

можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а)(40 + 8):2; в) 48:3; д)(20 + 28):2;

б)(30 + 16):3; г)(21+27):3; е)48:2;

верны ли равенства:

а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40-28):4 = 10-7?

4. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида:

а)(а + b):с; б)а:b:с; в)(а×b):с.

Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.

5. Найдите значения выражения рациональным способом; свои действия обоснуйте:

а) (7×63):7; в) (15×18):(5×6);

б)(3×4×5):15; г) (12×21): 14.

6. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число-

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

б) 882:18 =(900-18): 18 =900:18-18:18 = 50-1 =49;

в) 480:32 = 480:(8-4) = 480:8:4 = 60:4 = 15;

г) (560-32): 16 = 560×(32:16) = 560×2 = 1120.

7. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным способом частное; выбранный способ обоснуйте:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

6)425:85; г) 225:9; е) 455:65.




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных