Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Позиционные системы счисления, отличные от десятичной




Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р ³ 2. Система счисления с основанием р называется р-ичной. Так, если р = 2, то - двоичной, если р = 8 - восьмеричной, если p = 10 -десятичной.

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 2, ...,р - 1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятеричной - при помощи символов 0, 1,2,3,4.

Определение. Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде: х = апрn + аn-1pn-1 + ... + а1р + а0 (1), где коэффициенты аn, аn-1,..., а10 принимают значения 0,1, 2, ...,р- 1и ап ¹ 0.

Теорема. Пусть p ³ 2 – заданное натуральное число. Тогда любое натуральное число х представимо, и притом единственным образом в виде (1).

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о существовании и единственности записи числа в десятичной системе счисления.

Вместо представления в виде (1) число х записывают кратко: x= . Например, если р = 3, то число х = 2×33 + 0×32 + 1×3 +2 можно записать в виде 20123, причем читать его следует так: «Два, ноль, один, два в троичной системе счисления».

Задача. Сосчитать число клеток в фигуре, изображенной на рисунке 124, в троичной и пятеричной системах счисления.

 

Решение. В троичной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1 и 2, а любое число представляется в виде аn×3n+аn-1×3n-1 + ... 1×3 + а0, где ап, а,...,a1, a0 принимают значения 0, 1, 2 и ап ¹ 0. Однозначные числа в этой системе - 0, 1, 2, а число 3 – основание системы счисления – записывается как 10.

При счете клеток в данной фигуре мы получим числа, запись и название которых в троичной системе счисления таковы: 1 (один); 2 (два); 10 (один, ноль); 11 (один, один); 12 (один, два); 20 (два, ноль); 21 (два, один); 22 (два, два); 100 (один, ноль, ноль).

Таким образом, число клеток в фигуре на рисунке 124 в троичной системе счисления запишется как 1003.

В пятеричной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1,2, 3, 4, а любое число представляется в виде ап×5n + аn-1×5n-1 + а1 ×5 0, где аnn-1,...,а10 принимают значения 0, 1, 2,3,4 и an ¹ 0.

Однозначные числа в этой системе – 0, 1, 2, 3, 4, а число 5 - основание системы счисления – записывается как 10 .

При счете в пятеричной системе клеток фигуры на рисунке 124 мы получим числа: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14. Таким образом, число этих клеток в пятеричной системе счисления запишется как 145.

Сравнение чисел в системе счисления с основанием р (р ¹ 10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 21013 < 21023, поскольку при одинаковом числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число единиц в первом числе меньше числа един во втором.

Арифметические действия над числами в позиционных системах счисления с основанием р (р ¹ 10) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь иметь для системы основанием р соответствующие таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Составим, например, таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней - это 0, 1, 2. Число 3 записывается 10. Число 4 имеет вид 113, так как 4 = 1×3 + 1 = 113

Полностью таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно представить в таком виде:

 

 

Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной системе счисления, причем многозначные числа можно складывать столбиком по правилам, аналогичным правилам сложения чисел в десятичной системе счисления. Например, 12213 + 1223 = 21203, так как

+ 1221 122

 

Таблицей сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно пользоваться, выполняя вычитание: 21103-2123= 11213.

Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе счисления имеет вид:

 
.2

 

На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел по правилам, аналогичным правилам умножения чисел в десятичной системе счисления. Найдем, например, произведение 1223 × 223:

´122 22 +1021 1021

 

Таким образом, 1223×223 = 120013.

Таблицей умножения можно пользоваться, выполняя деление чисел в троичной системе счисления, в частности, деление чисел уголком.

Разделим, например, число 100113 на 123:

_10011½ 12 12 122 _ 111 101 _ 101 101

 

Значит, 100113:123 = 1223.

Одно и то же натуральное число может быть записано в любой системе счисления с основанием р ³ 2. Так, число клеток в фигуре на рисунке 124 в десятичной системе счисления записывается знаком 9 в троичной - 100, в пятеричной - 14.

Чтобы из одной записи получить другую, достаточно научиться переходить от записи в заданной системе к записи в десятичной и наоборот.

Пусть дана запись числа х в системе счисления с основанием p, т.е. х = ап×рn + ап-1×рn-1 + ... + а1×р + а0. Найдем запись этого числа в десятичной системе счисления. Так как в записи числа х числа аn, ап-1 ..., а1, а0 и р представлены в десятичной системе счисления, то, выполнив над ними действия по правилам, принятым в ней, получим десятичную запись числа х. Найдем, например, десятичную запись числа 4578. Для этого представим данное число в виде суммы вида: 4×82 + 5×8 +7. Значение этого выражения в десятичной системе счисления равно 303. Следовательно, 4578 = 30310.

Пусть теперь число х записано в десятичной системе. Найдем его запись в системе счисления с основанием р.

Число x = ап×рn + аn-1×рn-1 +…+ а1×р + а0 можно записать в виде х = р×(ап×рn-1 + ап-1×рn-2 +...+а1) + а0.Так как 0 £ а < р, то из последней записи числа х видно, что а0 – остаток, получаемый при делении числа х на p, а ап×рn-1 + аn-1×рn-2+ … + а1неполное частное. Точно так же можно найти, что а1 - остаток, получаемый при делении этого неполного частного на р. Таким образом, запись числа х в p-ичной системе находят так: число х делят (в десятичной системе) на р; остаток, полученный при делении, даст последнюю цифру а0 в p-ичной записи числа х; неполное частное снова делим нар, новый остаток даст предпоследнюю цифру p-ичной записи числа х; продолжая деление, найдем все цифры p-ичной записи числа х.

Запишем число 2436 в восьмеричной системе счисления. Разделим 2436 на 8: 2436 = 304×8 + 4. При делении числа 304 на 8 получим: 304 = 38×8 = 0 и тогда 2436 = (38×8 + 0)×8 + 4 или 2436 = 38×82 + 0×8 + 4. Делим на 8 число 38: 38 = 4×8 + 6 и тогда 2436 = (4×8 + 6) ×82 + 0×8 + 4 или 2436 = 4×83 + 6×82 + 0×8 + 4, т.е. 2436 = 46048. Описанный процесс можно представить и в таком виде:

_2436½ 8 24 _304½ 8 _36 24 _38½8 32 _64 32 4 4 64

Упражнения

1. Запишите число в виде суммы степеней основания с соответствующими коэффициентами:

а) 30245; б) 76108; в) 111012 -

 

2. Сосчитайте число треугольников на рисунке 125 в пятеричной и восьмеричной системе счисления.

3. Назовите наибольшее и наименьшее двузначные числа в системе счисления с основанием: 10, 8, 7, 5, 2.

4. Верно ли записаны числа в восьмеричной системе счисления: 347; 8025; 37952; 1110; 223?

5. Для числа х назовите предшествующее и непосредственно следующее за ним число, если:

а) х = 345; б) х = 507; в) х=123.

6. Выполните действия над числами, записанными в восьмеричной системе счисления.

а) 4312+ 2767; в) 72×27;

б)6714-3505; г) 5250:76.

7. Запишите в десятичной системе числа: 12з, 1445,201, 10112.

8. Запишите в порядке возрастания числа:

а)117, 115, 112, 119;

б)3278, 11012, 5136, 839, 20123.

9. Запишите в двоичной системе числа, запись которыхдана вдесятичной системе: 27, 125, 306.

10. Что меньше: 265438 - 3257 или 265437 - 3258?

 




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных