Позиционные системы счисления, отличные от десятичной

Теорема. Пусть p ³ 2 – заданное натуральное число. Тогда любое натуральное число х представимо, и притом единственным образом в виде (1).

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о существовании и единственности записи числа в десятичной системе счисления.

Вместо представления в виде (1) число х записывают кратко: x = . Например, если р = 3, то число х = 2×3³ + 0×3² + 1×3 +2 можно записать в виде 2012₃, причем читать его следует так: «Два, ноль, один, два в троичной системе счисления».

Задача. Сосчитать число клеток в фигуре, изображенной на рисунке 124, в троичной и пятеричной системах счисления.

Решение. В троичной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1 и 2, а любое число представляется в виде а_n ×3 ⁿ + а_n-1 ×3 ^n-1 +... +а₁×3 + а₀, где а_п, а,..., a₁, a₀ принимают значения 0, 1, 2 и а_п ¹ 0. Однозначные числа в этой системе - 0, 1, 2, а число 3 – основание системы счисления – записывается как 10.

При счете клеток в данной фигуре мы получим числа, запись и название которых в троичной системе счисления таковы: 1 (один); 2 (два); 10 (один, ноль); 11 (один, один); 12 (один, два); 20 (два, ноль); 21 (два, один); 22 (два, два); 100 (один, ноль, ноль).

Таким образом, число клеток в фигуре на рисунке 124 в троичной системе счисления запишется как 100₃.

В пятеричной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1,2, 3, 4, а любое число представляется в виде а_п× 5 ⁿ + а_{n- 1}×5 ^n-1 + а ₁ ×5 +а₀, где а_n,а_n-1,...,а₁,а₀ принимают значения 0, 1, 2,3,4 и a_n ¹ 0.

Однозначные числа в этой системе – 0, 1, 2, 3, 4, а число 5 - основание системы счисления – записывается как 10.

При счете в пятеричной системе клеток фигуры на рисунке 124 мы получим числа: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14. Таким образом, число этих клеток в пятеричной системе счисления запишется как 14₅.

Сравнение чисел в системе счисления с основанием р (р ¹ 10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 2101₃ < 2102₃, поскольку при одинаковом числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число единиц в первом числе меньше числа един во втором.

Арифметические действия над числами в позиционных системах счисления с основанием р (р ¹ 10) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь иметь для системы основанием р соответствующие таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Составим, например, таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней - это 0, 1, 2. Число 3 записывается 10. Число 4 имеет вид 11₃, так как 4 = 1×3 + 1 = 11₃

Полностью таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно представить в таком виде:

Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной системе счисления, причем многозначные числа можно складывать столбиком по правилам, аналогичным правилам сложения чисел в десятичной системе счисления. Например, 1221₃ + 122₃ = 2120₃, так как

Таблицей сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно пользоваться, выполняя вычитание: 2110₃-212₃= 1121₃.

Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе счисления имеет вид:

На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел по правилам, аналогичным правилам умножения чисел в десятичной системе счисления. Найдем, например, произведение 122₃ × 22₃:

Таким образом, 122₃×22₃ = 12001₃.

Таблицей умножения можно пользоваться, выполняя деление чисел в троичной системе счисления, в частности, деление чисел уголком.

Разделим, например, число 10011₃ на 12₃:

Значит, 10011₃:12₃ = 122₃.

Одно и то же натуральное число может быть записано в любой системе счисления с основанием р ³ 2. Так, число клеток в фигуре на рисунке 124 в десятичной системе счисления записывается знаком 9 в троичной - 100, в пятеричной - 14.

Чтобы из одной записи получить другую, достаточно научиться переходить от записи в заданной системе к записи в десятичной и наоборот.

Пусть дана запись числа х в системе счисления с основанием p, т.е. х = а_п × рⁿ + а_п-1 × р^n-1 +... + а₁ × р + а₀. Найдем запись этого числа в десятичной системе счисления. Так как в записи числа х числа а_n, а_п-1..., а₁, а₀ и р представлены в десятичной системе счисления, то, выполнив над ними действия по правилам, принятым в ней, получим десятичную запись числа х. Найдем, например, десятичную запись числа 457₈. Для этого представим данное число в виде суммы вида: 4×8² + 5×8 +7. Значение этого выражения в десятичной системе счисления равно 303. Следовательно, 457₈ = 303₁₀.

Пусть теперь число х записано в десятичной системе. Найдем его запись в системе счисления с основанием р.

Число x = а_п × рⁿ + а_{n- 1}× р^n-1 +… + а₁ × р + а₀ можно записать в виде х = р ×(а_п × р^n-1 + а_п-1 × р^n-2 +...+а ₁) + а ₀.Так как 0 £ а < р, то из последней записи числа х видно, что а₀ – остаток, получаемый при делении числа х на p, а а_п × р^n-1 + а_n-1 × р^n-2 + … + а₁ – неполное частное. Точно так же можно найти, что а₁ - остаток, получаемый при делении этого неполного частного на р. Таким образом, запись числа х в p -ичной системе находят так: число х делят (в десятичной системе) на р; остаток, полученный при делении, даст последнюю цифру а₀ в p -ичной записи числа х; неполное частное снова делим нар, новый остаток даст предпоследнюю цифру p -ичной записи числа х; продолжая деление, найдем все цифры p -ичной записи числа х.

Запишем число 2436 в восьмеричной системе счисления. Разделим 2436 на 8: 2436 = 304×8 + 4. При делении числа 304 на 8 получим: 304 = 38×8 = 0 и тогда 2436 = (38×8 + 0)×8 + 4 или 2436 = 38×8² + 0×8 + 4. Делим на 8 число 38: 38 = 4×8 + 6 и тогда 2436 = (4×8 + 6) ×8² + 0×8 + 4 или 2436 = 4×8³ + 6×8 ² + 0×8 + 4, т.е. 2436 = 4604₈. Описанный процесс можно представить и в таком виде:

_2436 ½ 8 24 _304 ½ 8 _36 24 _38 ½8 32 _64 32 4 4 64