Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами

Важно! В корнях четной кратности функция знак не меняет.

Обратите внимание! Любое нелинейное неравенство школьного курса алгебры нужно решать с помощью метода интервалов.

Предлагаю вам подробный алгоритм решения неравенств методом интервалов, следуя которому вы сможете избежать ошибок при решении нелинейных неравенств.

Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами

Как мы знаем,

i ² = — 1.

Вместе с тем

(— i)² = (— 1 • i)² = (— 1)² • i ² = —1.

Таким образом, существуют по крайней мере два значения корня квадратного из — 1, а именно i и — i. Но, может быть, есть еще какие-нибудь комплексные числа, квадраты которых равны — 1?

Чтобы выяснить этот вопрос, предположим, что квадрат комплексного числа а + bi равен — 1. Тогда

(а + bi)² = — 1,

а ² + 2 аbi — b ² = — 1

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому

Согласно второму уравнению системы (1) хотя бы одно из чисел а и b должно равняться нулю. Если b = 0, то из первого уравнения получается а ² = — 1. Число а действительное, и поэтому а ² > 0. Неотрицательное число а ² не может равняться отрицательному числу — 1. Поэтому равенство b = 0 в данном случае невозможно. Остается признать, что а = 0, но тогда из первого уравнения системы получаем: — b ² = — 1, b = ± 1.

Следовательно, комплексными числами, квадраты которых равны —1, являются только числа i и — i, Условно это записывается в виде:

√—1 = ± i.

Аналогичными рассуждениями учащиеся могут убедиться в том, что существует ровно два числа, квадраты которых равны отрицательному числу — а. Такими числами являются √ ai и —√ ai. Условно это записывается так:

√ — а = ± √ ai.

Под √ a здесь подразумевается арифметический, то есть положительный, корень. Например, √4 = 2, √9 =.3; поэтому

√—4 = + 2 i, √—9= ± 3 i

и т. д.

Если раньше при рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами мы говорили, что такие уравнения не имеют корней, то теперь так говорить уже нельзя. Квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами имеют комплексные корни. Эти корни получаются по известным нам формулам. Пусть, например, дано уравнение x ² + 2 х + 5 = 0; тогда

х _1,2 = — 1 ± √1 —5 = — 1 ± √—4 = — 1 ± 2 i.

Итак, данное уравнение имеет два корня: х ₁ = — 1 +2 i, х ₂ = — 1 — 2 i. Эти корни являются взаимно сопряженными. Интересно отметить, что сумма их равна — 2, а произведение 5, так что выполняется теорема Виета.

Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
   a = b и c = d.
2. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
   a + c + i (b + d).
3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
   ac – bd + i (ad + bc).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i 3 = 3 i. Чисто мнимое число i1 = 1 i = i обладает удивительным свойством:
Таким образом,

№ 4.1. В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множествавещественных чисел или множества комплексных чисел .

График функции

Фрагмент графика функции

• Пусть дано отображение . Тогда его гра́фиком называется множество
  ,
  где обозначает декартово произведение множеств и .
• Графиком непрерывной функции является кривая на двумерной плоскости.
• Графиком непрерывной функции является поверхность в трёхмерном пространстве.

Способы задания функции

[править] Аналитический способ

Обычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции. Возможно, кусочное задание, то есть различное для различных значений аргумента.

Примеры:

• ;
• ;
• ;
• 

[править] Табличный способ

Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:

[править] Графический способ

Осциллограмма задаёт значение некоторой функции графически.

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

[править] Рекурсивный способ

Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Примеры:

• факториал;
• числа Фибоначчи;
• функция Аккермана.

[править] Словесный способ

Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.

Примеры:

• функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;
• функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;
• функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождени

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: