Элементы векторной алгебры в пространстве

Решение типового примера

Пример 2.2.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Пусть А(0; 0; 1), В(2; 3; 5), С(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Требуется:

1) Записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) Найти угол между векторами ;

3) Найти проекцию вектора на вектор ;

4) Найти площадь грани АВС;

5) Найти объём пирамиды ABCD;

Решение.

1. Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт по формуле

(1)

где ­ координаты вектора в системе координат, порождённой ортами, причём

Если заданы точки , то для вектора

то есть

(2)

Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек A, B, C, D, получим:

Если вектор задан формулой (1),то его модуль вычисляется следующим образом:

(3)

Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:

Известна формула

где ­ скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом:

У нас

то есть .

3. Известно, что

,

то есть в нашем случае

4. Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и

где ­ векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

.

В нашем примере , причём

Таким образом,

(кв. ед.).

Объём пирамиды, построенной на трёх некомпланарных векторах можно найти по формуле

где ­ смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

.

У нас , где

,

то есть (куб.ед.).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: