Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю

.

Непосредственное вычисление предела

приводит к неопределённости вида .
Из геометрических соображений имеем S_DOAС< S_OAC < S_DOBC. Используя формулы площадей рассматриваемых фигур, получим

или

sin x < x < tg x

Разделив все части неравенства на sin x > 0, получим при условии х > 0

,

или

.

Так как функция у = cos x непрерывна, то

.

Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции, получим окончательно

.

Замечание. Если х < 0, то знаки неравенств изменяются на противоположные, выводы же остаются прежними.

25.Частные производные функций нескольких переменных.

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:
.

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:
.

Пусть задана функция . Если аргументу сообщить приращение , а аргументу – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .

Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
,
где и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.

Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается :
,
где и – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и .

26.Дифференцирование сложных функций.

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке .

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

27. Дифференцирование неявных функций

Функция п переменных Называется неявной, если она задана

Уравнением

(18.17)

Не разрешенным относительно и.

Частные производные неявной функции, заданной уравнением (18.17), находятся по формулам

В частности, если - функция одной переменной Заданная

Уравнением , то

(18.18)

Если г - функция двух переменных х, у, заданная уравнением , то

Если Где ,

То функция и называется сложной функцией независимых переменных . Переменные Назы

Ваются промежуточными аргументами.

Частная производная-сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных поцфомежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по данной независимой переменной:

28.Общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f (x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f (x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p (x) и h (y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h (y):

Разумеется, нужно убедиться, что h (y) ≠ 0. Если найдется число x ₀, при котором h (x ₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h (y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

29.Дифференциальные уравнения в частных производных.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: