ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ–функция вида y = f (x), x N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n) или y ₁, y ₂,…, y_n,…. Значения y ₁, y ₂, y ₃,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n ²можно записать:

y ₁ = 1² = 1;

y ₂ = 2² = 4;

y ₃ = 3² = 9;… y_n = n ²;

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y_n = f (n).

Пример. y_n = 2 n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в Пример 1. том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 2. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y ₁ = 3; y_n = y_{n –1} + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y ₁ = 3; y ₂ = 3 + 4 = 7; y ₃ = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y_n = 4 n – 1.

Пример 2. y ₁ = 1; y ₂ = 1; y_n = y_{n –2} + y_{n –1}, если n = 3, 4,….

Здесь: y ₁ = 1; y ₂ = 1; y ₃ = 1 + 1 = 2; y ₄ = 1 + 2 = 3; y ₅ = 2 + 3 = 5; y ₆ = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: