Образец выполнения заданий № 2

Задача. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Имеем

, отсюда ,

.

Потребуем, чтобы было ; тогда , , . Таким образом, внутри интервала исходный ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость на концах этого интервала.

При исходный ряд становится числовым:

; сравним этот ряд с рядом , который расходится:

- получилось число больше 0, поэтому ряд подобен ряду , т.е. расходится.

При исходный ряд становится таким:

- знакочередующийся ряд, который нужно исследовать по признаку Лейбница. Сравним с :

при больших ; таким образом , т.е. члены ряда уменьшаются по абсолютной величине. Кроме того

, т.е. члены ряда стремятся к 0. Следовательно, знакочередующийся ряд сходится. Таким образом - интервал сходимости исходного степенного ряда.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: