Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Язык логики высказываний




Язык логики высказываний — это искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний.

Алфавит языка логики высказываний содержит следующие три категории знаков.

1. Пропозициональные буквы (пропозициональные переменные)[2]:

р, q, r, s, t, p 1, q 1, r 1, s 1, t 1, p 2, q2,

2. Логические знаки (логические союзы): ~ —знак отрицания; Ù —знак конъюнкции; Ú — знак дизъюнкции; ® —знак импликации, «— знак эквивалентности, «— знак строгой дизъюнкции.

3. Технические знаки: (— левая скобка;) — правая скобка.

Никаких других знаков в языке логики высказываний нет.

Роль структурных образований, аналогичных элементарным и сложным высказываниям, играют в этом языке формулы. Формулы — это конечные последовательности знаков алфавита, которые построены по установленным правилам и образуют законченные выражения языка логики высказываний.

Определение формулы логики высказываний:
1) пропозициональная переменная есть формула; 2) если А — произвольная формула, то ~ А [читается: не А или неверно, что А ] — тоже формула; 3) если А и В — произвольные формулы, то (А Ù В) [читается: А и В ], (A Ú B) [читается: А или В ]; (А ® В) [читается: если А, то В ], (А «В) [читается: А тогда и только тогда, когда В], (А «В) [читается: либоА, либо В ] — тоже формулы.

Никаких других формул, кроме указанных в пп. 1 —3, в языке логики высказываний нет.

Заглавные латинские буквы А и В, которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, т. е. тому языку, на котором мы говорим о языке логики высказываний, и служат для обозначения произвольных формул, записанных на языке логики высказываний. В отличие от букв, которые являются пропозициональными переменными, их называют метапеременными, или метабуквами.

Содержащие метабуквы выражения ~ А, (А Ù В), (A Ú B), (А ® В), (А «В) и (А «В) — не формулы, а схемы формул определенного вида. Например, выражение (А Ù В) есть схема формул Ù q), ((r ® q) Ù (r «s)), Ù Ú q)), Ù р) и т. п., а выражение (А Ú А) — схема формул Ú р), (~ q Ú ~ q) и ((р ® r) Ú ® r)), но не схема формулы Ú q). В дальнейшем мы часто будем говорить формула (А Ù В), подразумевая любую формулу логики высказываний соответствующего вида, а не саму запись (А Ù В), которая является схемой формул.

Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с п.п. 1 —3 определения формулы, то она — формула, если нет, то не формула. Так, последовательность знаков

((((p ® q) Ú ~ r) Ù (r «p)) ® q)

является формулой потому, что она может быть построена в соответствии с этими пунктами. Действительно, на основании п. 1 пропозициональные переменные р и q являются формулами. Тогда согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята пропозициональная переменная р, а в качестве В — пропозициональная переменная q, выражение ® q) является формулой. А так как пропозициональная переменная r в силу п. 1 есть формула, то выражение ~ r согласно п. 2 и выражение ((p ® q) Ú ~ r) согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята формула (p ® q), а в качестве В — формула ~ r, тоже есть формула. Поскольку согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята пропозициональная переменная r, а в качестве В — переменная р, выражение (r «р) есть формула, постольку выражение (((p ® q) Ú ~r) Ù (r «p)) в силу того же п. 3, но при условии, что А — это ((p ® q) Ú ~r), а В — это (r «р), тоже является формулой. И наконец, все анализируемое выражение согласно п. 3. при условии, что в качестве А взята формула (((p ® q) Ú ~r) Ù (r «p)), а в качестве В —пропозициональная переменная q, есть формула логики высказываний. Таким образом, анализируя последовательности знаков алфавита языка логики высказываний, мы проверяем, являются они формулами или нет.

Схемy процесса построения формулы удобно представлять в виде следующей древовидной фигуры, которую называют деревом формулы:

 

p   q   r    
         
(p ® q)   ~ r   r   p  
           
((p ® q) Ú ~ r)   (r ® p)  
       
(((p ® q) Ú ~ r) Ù (r ® p))   q
     
((((p ® q) Ú ~ r) Ù (r ® p)) ® q)
                                     

 

Ясно, что последовательности знаков алфавита

p ® ); (p ® q(; ((p ® q)); p ® q; (~r)

не являются формулами логики высказываний, так как ни одна из них не может быть построена в соответствии с п.п. 1—3 определения формулы. Четвертое из этих выражений, например, не является формулой, так как соединение формул знаком ® всегда сопровождается заключением в скобки.

Любая часть формулы, которая сама есть формула, называется подформулой данной формулы. Например, подформулами анализируемой выше формулы являются переменные р, q, r (каждая из которых дважды входит во всю формулу), формулы

~r,(p ® q),((p ® q) Ú ~r), (r «р),

(((p ® q) Ú ~r) Ù (r «p))

и, наконец, вся формула

((((p ® q) Ú ~r) Ù (r «p)) ® q),

которая рассматривается как часть самой себя. Но, например, такие части рассматриваемой формулы, как

(((p ® или (r «p)) ® q),

не являются ее подформулами, так как не являются формулами.

Подформулы А и В в формуле (А Ù В ) называются ее конъюнктивными членами, или конъюнктами, а в формуле (A Ú B) — ее дизъюнктивными членами, или дизъюнктами. В формуле (А ® В ) подформула А называется ее антецедентом, а подформула В — ее консеквентом.

Логический знак, который при построении формулы применяется последним, называется главным логическим знаком данной формулы.

Каждая формула логики высказываний превращается в истинное или ложное высказывание, если все входящие в нее пропозициональные переменные заменить конкретными истинными или ложными высказываниями. Так, если в формуле

(p ® q)

переменную р заменить высказыванием 12 делится на 6, переменную q — высказыванием 12 делится на 2 и 12 делится на 3, логический знак ® заменить словами, соответствующими его прочтению (они указаны в определении формулы), и отбросить скобки, то получим высказывание Если 12 делится на 6, то 12 делится на 2 и 12 делится на 3.

Если какая-нибудь переменная входит в формулу больше одного раза, то на всех местах, где она входит в данную формулу, ее нужно заменять одним и тем же высказыванием. Например, из формулы

((р Ù q) ® p)

можно получить высказывание Если 12 делится на 2 и 12 делился на 3, то 12 делится на 2, но нельзя получить ни высказывания Если 12 делится на 2 и 12 делится на 8, то 12 делится на 5, ни высказывания Если 12 делится на 2 и 12 делится на 3, то 12 делится на 6.

В дальнейшем, вместо того чтобы говорить, что формула в результате замены переменных истинными или ложными высказываниями превращается в истинное или ложное высказывание, мы будем говорить, что когда все переменные формулы принимают (получают) логическое значение истина или ложь, то и формула принимает (получает) одно из этих значений. Рассматривая вместо высказываний их логические значения, мы подчеркиваем, что нас интересует не конкретное содержание отдельных высказываний, а только то, истинны они или ложны.

Кроме описанного выше логического языка, употребляются языки с другим алфавитом. В некоторых из них для обозначения пропозициональных переменных употребляются первые буквы латинского алфавита (заглавные или строчные), для обозначения отрицания используют знаки ~ и ù, для конъюнкции — & и •, для импликации — знак É, для эквивалентности — «и º, для строгой дизъюнкции — ¹ и др. В качестве метабукв употребляют буквы готического и греческого алфавита. Существуют также языки, в которых вместо скобок в качестве разделительных знаков употребляют точки или квадратики.

Наконец, прибегают к следующему бесскобочному логическому языку, предложенному польским логиком Я. Лукасевичем. Алфавит: пропозициональные переменные — р, q, r, s,.... логические знаки — N (отрицание), К (конъюнкция), А (дизъюнкция), С (импликация), Е (эквивалентность), J (строгая дизъюнкция).

Определение формулы: 1) пропозициональная переменная есть формула; 2) если a формула, то N a формула; 3) если a и b формулы, то K ab, A ab, C ab, E ab и J ab — формулы.

Таким образом, формула

((~ p «q) ® (p Ú (r Ù ~ s)))

будет в этом языке иметь вид

CE Npq A p K rNs

и т.п.

 

Упражнения

I. Проверить, являются ли следующие выражения формулами логики высказываний, и для каждой формулы построить «дерево формулы»:

1) (((р ® r) Ú q) Ù ~ р) ® Ù q);

2) «q) ® ((р «r) Ù ~r);

3) ((p Ù q) ® (q Ú r) Ù (p «r));

4) ((~(~p Ù q) Ú p) ® ~r.

II. Как можно расставить скобки в следующих последовательностях знаков, чтобы получилась формула:

1) ~р Ù ~q Ú r;

2) ~~р Ú q ® ~ r «~ q.

III. Перевести на язык Лукасевича следующие формулы:

1) (((p ® q) ® r) ® s);

2) (p ® (q ® (r ® s)));

3) (((р «q) Ù ~r) ® ((r «s) Ú ~(р Ù q))).

I V. Перевести с логического языка Лукасевича на наш язык следующие формулы:

1) KpNCNqArs;

2) ANCKNANrqrsNp:

3) AENpJqrCCKprAqspr.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных