ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Язык логики высказыванийЯзык логики высказываний — это искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний. Алфавит языка логики высказываний содержит следующие три категории знаков. 1. Пропозициональные буквы (пропозициональные переменные)[2]: р, q, r, s, t, p 1, q 1, r 1, s 1, t 1, p 2, q2, … 2. Логические знаки (логические союзы): ~ —знак отрицания; Ù —знак конъюнкции; Ú — знак дизъюнкции; ® —знак импликации, «— знак эквивалентности, «— знак строгой дизъюнкции. 3. Технические знаки: (— левая скобка;) — правая скобка. Никаких других знаков в языке логики высказываний нет. Роль структурных образований, аналогичных элементарным и сложным высказываниям, играют в этом языке формулы. Формулы — это конечные последовательности знаков алфавита, которые построены по установленным правилам и образуют законченные выражения языка логики высказываний. Определение формулы логики высказываний: Никаких других формул, кроме указанных в пп. 1 —3, в языке логики высказываний нет. Заглавные латинские буквы А и В, которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, т. е. тому языку, на котором мы говорим о языке логики высказываний, и служат для обозначения произвольных формул, записанных на языке логики высказываний. В отличие от букв, которые являются пропозициональными переменными, их называют метапеременными, или метабуквами. Содержащие метабуквы выражения ~ А, (А Ù В), (A Ú B), (А ® В), (А «В) и (А «В) — не формулы, а схемы формул определенного вида. Например, выражение (А Ù В) есть схема формул (р Ù q), ((r ® q) Ù (r «s)), (р Ù (р Ú q)), (р Ù р) и т. п., а выражение (А Ú А) — схема формул (р Ú р), (~ q Ú ~ q) и ((р ® r) Ú (р ® r)), но не схема формулы (р Ú q). В дальнейшем мы часто будем говорить формула (А Ù В), подразумевая любую формулу логики высказываний соответствующего вида, а не саму запись (А Ù В), которая является схемой формул. Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с п.п. 1 —3 определения формулы, то она — формула, если нет, то не формула. Так, последовательность знаков ((((p ® q) Ú ~ r) Ù (r «p)) ® q) является формулой потому, что она может быть построена в соответствии с этими пунктами. Действительно, на основании п. 1 пропозициональные переменные р и q являются формулами. Тогда согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята пропозициональная переменная р, а в качестве В — пропозициональная переменная q, выражение (р ® q) является формулой. А так как пропозициональная переменная r в силу п. 1 есть формула, то выражение ~ r согласно п. 2 и выражение ((p ® q) Ú ~ r) согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята формула (p ® q), а в качестве В — формула ~ r, тоже есть формула. Поскольку согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята пропозициональная переменная r, а в качестве В — переменная р, выражение (r «р) есть формула, постольку выражение (((p ® q) Ú ~r) Ù (r «p)) в силу того же п. 3, но при условии, что А — это ((p ® q) Ú ~r), а В — это (r «р), тоже является формулой. И наконец, все анализируемое выражение согласно п. 3. при условии, что в качестве А взята формула (((p ® q) Ú ~r) Ù (r «p)), а в качестве В —пропозициональная переменная q, есть формула логики высказываний. Таким образом, анализируя последовательности знаков алфавита языка логики высказываний, мы проверяем, являются они формулами или нет. Схемy процесса построения формулы удобно представлять в виде следующей древовидной фигуры, которую называют деревом формулы:
Ясно, что последовательности знаков алфавита p ® ); (p ® q(; ((p ® q)); p ® q; (~r) не являются формулами логики высказываний, так как ни одна из них не может быть построена в соответствии с п.п. 1—3 определения формулы. Четвертое из этих выражений, например, не является формулой, так как соединение формул знаком ® всегда сопровождается заключением в скобки. Любая часть формулы, которая сама есть формула, называется подформулой данной формулы. Например, подформулами анализируемой выше формулы являются переменные р, q, r (каждая из которых дважды входит во всю формулу), формулы ~r,(p ® q),((p ® q) Ú ~r), (r «р), (((p ® q) Ú ~r) Ù (r «p)) и, наконец, вся формула ((((p ® q) Ú ~r) Ù (r «p)) ® q), которая рассматривается как часть самой себя. Но, например, такие части рассматриваемой формулы, как (((p ® или (r «p)) ® q), не являются ее подформулами, так как не являются формулами. Подформулы А и В в формуле (А Ù В ) называются ее конъюнктивными членами, или конъюнктами, а в формуле (A Ú B) — ее дизъюнктивными членами, или дизъюнктами. В формуле (А ® В ) подформула А называется ее антецедентом, а подформула В — ее консеквентом. Логический знак, который при построении формулы применяется последним, называется главным логическим знаком данной формулы. Каждая формула логики высказываний превращается в истинное или ложное высказывание, если все входящие в нее пропозициональные переменные заменить конкретными истинными или ложными высказываниями. Так, если в формуле (p ® q) переменную р заменить высказыванием 12 делится на 6, переменную q — высказыванием 12 делится на 2 и 12 делится на 3, логический знак ® заменить словами, соответствующими его прочтению (они указаны в определении формулы), и отбросить скобки, то получим высказывание Если 12 делится на 6, то 12 делится на 2 и 12 делится на 3. Если какая-нибудь переменная входит в формулу больше одного раза, то на всех местах, где она входит в данную формулу, ее нужно заменять одним и тем же высказыванием. Например, из формулы ((р Ù q) ® p) можно получить высказывание Если 12 делится на 2 и 12 делился на 3, то 12 делится на 2, но нельзя получить ни высказывания Если 12 делится на 2 и 12 делится на 8, то 12 делится на 5, ни высказывания Если 12 делится на 2 и 12 делится на 3, то 12 делится на 6. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить, что формула в результате замены переменных истинными или ложными высказываниями превращается в истинное или ложное высказывание, мы будем говорить, что когда все переменные формулы принимают (получают) логическое значение истина или ложь, то и формула принимает (получает) одно из этих значений. Рассматривая вместо высказываний их логические значения, мы подчеркиваем, что нас интересует не конкретное содержание отдельных высказываний, а только то, истинны они или ложны. Кроме описанного выше логического языка, употребляются языки с другим алфавитом. В некоторых из них для обозначения пропозициональных переменных употребляются первые буквы латинского алфавита (заглавные или строчные), для обозначения отрицания используют знаки ~ и ù, для конъюнкции — & и •, для импликации — знак É, для эквивалентности — «и º, для строгой дизъюнкции — ¹ и др. В качестве метабукв употребляют буквы готического и греческого алфавита. Существуют также языки, в которых вместо скобок в качестве разделительных знаков употребляют точки или квадратики. Наконец, прибегают к следующему бесскобочному логическому языку, предложенному польским логиком Я. Лукасевичем. Алфавит: пропозициональные переменные — р, q, r, s,.... логические знаки — N (отрицание), К (конъюнкция), А (дизъюнкция), С (импликация), Е (эквивалентность), J (строгая дизъюнкция). Определение формулы: 1) пропозициональная переменная есть формула; 2) если a формула, то N a формула; 3) если a и b формулы, то K ab, A ab, C ab, E ab и J ab — формулы. Таким образом, формула ((~ p «q) ® (p Ú (r Ù ~ s))) будет в этом языке иметь вид CE Npq A p K rNs и т.п.
Упражнения I. Проверить, являются ли следующие выражения формулами логики высказываний, и для каждой формулы построить «дерево формулы»: 1) (((р ® r) Ú q) Ù ~ р) ® (р Ù q); 2) (р «q) ® ((р «r) Ù ~r); 3) ((p Ù q) ® (q Ú r) Ù (p «r)); 4) ((~(~p Ù q) Ú p) ® ~r. II. Как можно расставить скобки в следующих последовательностях знаков, чтобы получилась формула: 1) ~р Ù ~q Ú r; 2) ~~р Ú q ® ~ r «~ q. III. Перевести на язык Лукасевича следующие формулы: 1) (((p ® q) ® r) ® s); 2) (p ® (q ® (r ® s))); 3) (((р «q) Ù ~r) ® ((r «s) Ú ~(р Ù q))). I V. Перевести с логического языка Лукасевича на наш язык следующие формулы: 1) KpNCNqArs; 2) ANCKNANrqrsNp: 3) AENpJqrCCKprAqspr. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|