ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулыДо сих пор мы имели дело с формулами, которые при одних логических значениях своих переменных были истинными, а при других значениях — ложными. Но существуют формулы, которые при любых наборах логических значений переменных получают в заключительном столбце таблицы логическое значение «истина». Такие формулы называют тождественно-истинными формулами или логическими тождествами. Рассмотрим, например, формулу p ® p и построим ее таблицу:
Мы видим, что независимо от того, принимает пропозициональная переменная р значение «истина» или «ложь», формула р ® р имеет значение «истина». Так, высказывания Если Ленинград большой, город, то Ленинград большой город; Если сегодня пасмурный день, то сегодня пасмурный день и Если 12 простое число, то 12 простое число — истинны независимо от того истинно или ложно фактически, что Ленинград большой город и сегодня пасмурный день, и является ли действительно 12 простым числом. Построим теперь для формулы p Ú ~ p ее таблицу:
Мы видим, что независимо от того, принимает переменная р значения «истина» или «ложь», формула р Ú ~р имеет значение «истина». Например, высказывания Волга впадает в Каспийское море или Волга не впадает в Каспийское море; 12 делится на 5 без остатка, или неверно, что 12 делится на 5 без остатка — истинны независимо от того, впадает Волга в Каспийское море и делится ли 12 на 5 без остатка. Каждая тождественно-истинная формула выражает какой-то логический закон. Формула р ® р есть известный логический закон тождества, а формула p Ú ~ р — закон исключенного третьего (закон исключенного среднего). Рассмотрим еще два примера тождественно-истинных формул. Формула p ® (q ® р) имеет таблицу:
а формула ((p ® q) Ù ((q ® r)) ® (p ® r) (закон гипотетического силлогизма) — таблицу:
Таким образом, существуют формулы, которые истинны при любых логических значениях своих переменных. Ясно, что все тождественно-истинные формулы равносильны друг другу. Поскольку соответствующие этим формулам сложные высказывания истинны при любом конкретном содержании и независимо от фактической истинности элементарных высказываний, из которых они состоят, говорят, что они являются аналитически, или логически, истинными высказываниями. Тождественно-истинные формулы и соответствующие конкретные высказывания всегда истинны потому, что в их логической структуре (логической форме) отражаются объективные связи, которые носят общий и закономерный характер. Существуюттакже формулы, которые при любых наборах логических значений переменных получают в заключительном столбце логическое значение «ложь». Они называются тождественно-ложными (противоречивыми) формулами. Рассмотрим, например, формулу p Ù ~p, которая имеет таблицу:
Так, высказывания Ленинград расположен в дельте Невы, и неверно, что Ленинград расположен в дельте Невы; Этот лист бумаги белый, и неверно, что этот лист бумаги белый; 2 — простое число, и неверно, что 2 — простое число, — ложны независимо от того, где расположен Ленинград, каков цвет данного листа бумаги и считается ли 2 простым числом. Рассмотрим далее формулы p «~р и ~p Ù ~(~p Ú q), которые имеют таблицы:
Например, высказывания Он умеет играть в шахматы, если и только если неверно, что он умеет играть в шахматы, и Неверно, что это число четное, и неверно, что это число не является четным или оно делится на 3, — ложны независимо от того, умеет тот, о ком идет речь, играть в шахматы и делится ли данное число на 2 и на 3. Ясно, что все тождественно-ложные формулы равносильны друг другу. Отрицание тождественно-истинной формулы есть тождественно-ложная формула, и наоборот. Так, если формулы p Ú ~ p и ~(р Ù ~ р) тождественно-истинны, то формулы ~(p Ú ~ р) и ~~(p Ù ~ р) тождественно-ложны. Если теперь мы обозначим заглавной буквой «И» формулу, которая тождественно-истинна, а заглавной буквой «Л» формулу, которая тождественно-ложна, то будут иметь место следующие равносильности: ~И равносильно Л; (43) ~ Л равносильно И; (44) А «И равносильно А; (45) А «Л равносильно ~ А; (46) А Ù И равносильно А; (47) И Ù А равносильно А; (47¢) А Ù Л равносильно Л; (48) Л Ù А равносильно Л; (48¢) А Ú И равносильно И; (49) И Ú А равносильно И; (49¢) Л Ú А равносильно А; (50) Л Ú А равносильно А. (50¢) Ясно, что если формула А тождественно-истинна (тождественно-ложна), то любая ее таблица с любым перечнем пропозициональных переменных E 1, Е 2 ,..., En во всех строках заключительного столбца будет иметь значение «истина» («ложь»). Знание о том, что какие-то формулы тождественно-истинны, позволяет судить о тождественной истинности других формул. Например, можно доказать следующую теорему. Теорема. Если формулыА ® В и В ® С тождественно-истинны, то тождественно-истинна формула А ® С. Доказательство. Пусть E 1, Е 2 ,..., En — перечень всех пропозициональных переменных, входящихв А, В и С. Построим таблицы формул А ® В, В ® С и А ® С с данным перечнем переменных. Предположим теперь, что формула А ® С не тождественно-истинна и при некотором наборе логических значений переменных E 1, Е 2 ,..., En получает в заключительном столбце своей таблицы логическое значение «ложь». Ясно, что при данных значениях переменных формула А истинна, а формула С ложна. Но тогда, если при этом же наборе логических значений переменных формула В истинна, то ложна формула В ® С, а если формула В ложна, то ложна формула А ® В. Одно и другое противоречит условиям теоремы,и, следовательно, формула А ® С тождественно-истинна. Докажем, наконец, следующую теорему. Теорема. А равносильно В тогда и только тогда, когда формулаА «В тождественно-истинна. Доказательство. Пусть А равносильно В. Тогда если при некотором наборе логических значении переменных E 1, Е 2 ,..., En (где E 1, Е 2 ,..., En — совокупность всех переменных, входящих в А и В) формула А истинна, то формула В тоже истинна. Но в этом случае согласно таблице для эквивалентности истинна и формула А «В. Если же при некотором наборе логических значений E 1, Е2,..., En формула А ложна, то В тоже ложна и согласно таблице для эквивалентности формула А «В истинна. Обратно, пусть формула А «В тождественно-истинна. Тогда согласно равносильности (26) тождественно-истинны формулы А ® В и В ® А. Если при некотором наборе логических значении E 1, Е 2 ,..., En формула А истинна, то согласно таблице для эквивалентности формула В не может быть ложной, так как в этом случае была ложна формула А ® В. Если же при некотором наборе логических значений переменных формула А ложна, то формула В не может быть истинной, так как в этом случае была бы ложна формула В ® А. Таким образом, А равносильно В. Упражнения I. Установить, какой из следующих четырех формул: А, ~ А, И или Л равносильны формулы: 1) А ® И, 2) А ® Л , 3) И ® А, 4) Л ® А, 5) А ¹ И, 6) А ¹ Л. II. Доказать, что 1) если тождественно-истинны формулы А и А ® В, то тождественно-истинна формула В; 2) если тождественно-истинны формулы А ® В и А ® ~ В, то тождественно-истинна формула ~ А; 3) если тождественно-истинны формулы А Ú В, А ® С, В ® D, то тождественно-истинна формула С Ú D. III. Построить такую формулу А, чтобы 1) формула (p ® (A ® ~q)) ® ((p Ù q) Ú A) была тождественно-истинной; 2) формула ((~r Ú (p Ù ~q)) ® A) Ù ~(r Ù ((~q ® ~p) Ù A)) была тождественно-ложной.
[1] Этот союз употребляется здесь в смысле: либо одно, либо другое, но не то и другое вместе. [2] От pr o p o s itio (лат.) — высказывание; логику высказываний называют также пропозициональной логикой. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|