Онтологический статус математики как философская проблема. Программы обоснования математического знания.

Отрасль философии, исследующая природу математических объектов и эпистемологические проблемы математического познания. Одной из первых попыток решения этой проблемы стала концепция математического реализма, которую часто называют также платонизмом. Она постулирует, что математические объекты являются абстрактными, вечными и причинно не связанными с материальными предметами и эмпирическим опытом. Такой взгляд может объяснить, почему математика независима от опыта, а ее истины имеют достоверный характер. Однако как только возникает вопрос о ее приложении к естествознанию и др. конкретным наукам, то ни платонизм, ни позднее возникший реализм не могут удовлетворительно ответить на него.

Близкой по онтологии к реализму или даже его разновидностью является концепция структурализма, рассматривающая математику как науку об абстрактных структурах. С этой т.зр. арифметика, напр., не является наукой о таких абстрактных объектах, как числа, а скорей — о теоретико-числовых структурах. Наиболее настойчиво структурный взгляд пропагандировали математики, выступавшие под псевдонимом «Н. Бурбаки». Они поставили перед собой амбициозную цель: изложить все математические дисциплины с помощью аксиоматического метода и т.о. представить все существующее математическое знание в виде грандиозной аксиоматической структуры. В качестве основных, или порождающих, структур они выделяют алгебраические, топологические и структуры порядка, путем комбинации которых образуются др. структуры. По своей онтологической природе структуры являются априорными конструкциями, и их совпадение с эмпирической реальностью чисто случайно. «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя, по существу, и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» (Н. Бурбаки).

Альтернативными реализму являются субъективные концепции, согласно которым содержание математики создается мышлением субъекта. Крайней формой такого субъективизма является убеждение, что существует столько математик, сколько самих математиков, и что даже каждый человек может создавать свою математику. Интуиционисты считают математические объекты существующими тогда, когда они построены, а доказательства фактически проведены.

Др. альтернативой реализму являются представления о математике и ее объекте как свободных от онтологии. Эти представления варьируются: одни рассматривают математику как особый метод, применимый во многих науках, но не имеющий ни своего содержания, ни собственного предмета исследования, др. предлагают говорить о математических объектах в модальных терминах, т.е. вместо того, чтобы считать их существующими, заявляют о возможности их существования, третьи — вообще объявляют их фикциями, и т.п. Такого рода инструменталистские взгляды не могут объяснить, почему возможные, а тем более фиктивные понятия математики могут применяться в содержательных рассуждениях естествознания, технических и социально-гуманитарных наук.

Широкое распространение получил конструктивный подход к математике, сторонники которого, как и интуиционисты, отрицают законность применения в ней актуальной, ставшей бесконечности и вновь возвращаются к бесконечности потенциальной, становящейся. Конструктивисты опираются на более точные определения конструктивных объектов и операций, а также фундаментального понятия алгоритма, служащего основой для построения конструктивной математики. Выдающийся вклад в развитие этой математики внесла отечественная школа ученых во главе с А.А. Марковым. В отличие от интуиционистов, которые рассматривают математику как чисто умозрительную деятельность, связанную с построением математических объектов на «базисной интуиции интеллекта, без обращения к непосредственной применимости» (Брауэр), Марков указывает, что умозрительный характер имеют не сами построения, а наши рассуждения о них, в особенности когда начинают использоваться абстракции.

Рассел, сформулировавший философскую базу логицизма, во многом солидаризировался с английским эмпиризмом. Он исходил из того, что основание математики лежит вне ее и все математическое знание должно быть фундировано нематематическими посылками. Истинность математических суждений обнаруживается их сведением к наиболее простым и непосредственно устанавливаемым суждениям о реальности, т. е. эмпирическим фактам. Рассел был убежден в том, что математика будет иметь смысл (и избавится от противоречий), когда будет показано, что она отражает какое-то реальное положение дел. Наибольшую сложность в его концепции представляло объяснение того, что собственно означает это реальное положение дел, т. е. что следует называть фактами и как их устанавливать.

Прямо противоположная позиция была занята основателем интуиционистской школы Брауэром. Он считал математику вполне самодостаточной дисциплиной, основания которой лежат внутри ее самой. Более того, по мнению Брауэра, математика является наиболее чистым выражением фундаментальных интуиции, лежащих в основе всякой когнитивной деятельности. Говоря об интуиции, он прежде всего имел в виду интуицию числового ряда, которая, будучи непосредственно ясна сама, задает априорный принцип любого математического (да и не только математического) рассуждения. Последнее он представлял как последовательность конструктивных действий, осуществляемых одно за другим согласно некоторому закону. Обоснованность математических понятий поэтому оказывалась тождественна их конструктивности. По Брауэру, все неконструктивные абстракции (прежде всего абстракция актуальной бесконечности) должны быть устранены из математики.

В целом можно выделить несколько основных проблем, на которых постоянно концентрируется философия математики. Во-первых, это проблема интуиции или непосредственного чувственного или интеллектуального созерцания. Именно ясность и простота созерцания оказываются критерием обоснованности математического знания. Вторая проблема состоит в том, где следует искать возможность такого созерцания: дает ли ее сама математика, или оно лежит в иных областях, из которых математика должна быть выведена. Обе проблемы по-прежнему остаются в центре внимания философии математики и продолжают в значительной мере определять содержание современных дискуссий.

В 1931 году австрийский математик Курт Гёдель сформулировал теорему о неполноте: в любой достаточно богатой теории существуют утверждения, которые не могут быть доказаны или опровергнуты средствами теории. Эта теорема полностью разрушила формализм, как программу обоснования математики. Формулировка первой, или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Затем Гёдель сформулировал и доказал вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы).

24. Метод математического моделирования и его роль в развитии современной науки. Математические модели в геологии.

Выявление общего, существенного, присущего всем системам определенного рода производится наиболее общим приемом — математическим моделированием. При математическом моделировании систем наиболее ярко проявляется эффективность единства качественных и количественных методов исследования, характеризующая магистральный путь развития современного научного познания.

Всякая сложная система, модель которой мы создаем, при своем функционировании подчиняется определенным законам — физическим, химическим, биологическим и др. Рассматриваются такие системы, для которых знание законов предполагает известные количественные соотношения, связывающие те или иные характеристики моделируемой системы. Модель создается для ответа на множество вопросов о моделируемом объекте. Интересуясь некоторыми аспектами функционирующей системы, изучают ее с определенных точек зрения. Направления изучения системы в значительной степени и определяет выбор модели. Опишем процесс построения математической модели сложной системы. Его можно представить состоящим из следующих этапов:

1. Формулируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели.

2. Из множества законов, управляющих поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.

3. В дополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании. Как правило, эти гипотезы правдоподобны в том смысле, что могут быть приведены некоторые теоретические доводы в пользу их принятия.

4. Гипотезы, так же как и законы, выражаются в форме определенных математических соотношений, которые объединяются в некоторое формальное описание модели.

На этом заканчивается процесс построения математической модели. Дальше следует процесс исследования этих соотношений с помощью аналитических и вычислительных методов, приводящий в конечном итоге к отысканию ответов на предъявляемые модели вопросы. Разрабатывается или используется созданный ранее алгоритм для анализа этой модели. Если модель и алгоритм не слишком сложны, то может оказаться возможным аналитическое исследование модели. В противном случае составляется программа, реализующая этот алгоритм на ЭВМ. После выполнения расчетов по модели на ЭВМ их результаты обязательно сравниваются с фактической информацией из соответствующей предметной области. Это сравнение необходимо для того, чтобы убедиться в адекватности модели, в том, что модельным расчетам можно верить, их можно использовать.

Если модель хороша, то ответы, найденные с ее помощью, как правило, бывают весьма близки к ответам на те же вопросы о моделируемой системе. Более того, в этом случае зачастую с помощью модели удается ответить и На некоторые ранее не ставившиеся вопросы, расширить круг представлений о реальной системе. Если же модель плоха, т. е. недостаточно адекватно описывает систему с точки зрения задаваемых ей вопросов, то она подлежит дальнейшему улучшению или замене. Возможны также ошибки в алгоритме, в программе для ЭВМ. Такие повторные просмотры продолжаются до тех пор, пока результаты расчетов не удовлетворят исследователя. Теперь модель готова к использованию. Критерием адекватности модели служит практика, которая и определяет, когда может закончиться процесс улучшения модели. Итак, ни ЭВМ, ни математическая модель, ни алгоритм для ее исследования порознь не могут решить достаточно сложную исходную задачу. Но вместе они представляют ту силу, которая позволяет познавать окружающий мир, управлять им в интересах человечества.

Достоинствами метода математического моделирования является то, что модель представляет собой формализованную запись тех или иных законов природы, управляющих функционированием системы. Однако определенные трудности возникают при попытке построения математической модели очень сложной системы.

Существуют различные модели, используемые для описания сложных систем, такие как дескриптивные (описательные), описывающие происходящие в системе процессы;

- оптимизационные, управляющие процессом, т. е. принимающие те или иные решения;

- многокритериальные, рассматривающие систему по многим критериям;

- игровые, пригодные для исследования и рассматривающие конфликтные ситуации;

- имитационные, максимально использующие имеющуюся информацию о поведении системы.

25. Синергетика как междисциплинарный подход к процессам самоорганизации. Синергетическая парадигма как новый вектор развития теоретической геологии?

Основа синергетики – общность нелинейных процессов в открытых диссипативных (с трением) системах, что позволяет описывать явления из самых разных областей с помощью близких математических моделей. Математическим языком концепции самоорганизации является исследовательская программа качественного анализа динамических систем А.Пуанкаре.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: