Контрольная работа №1 5 страница

Задание 7.

Составить уравнения касательной и нормальной плоскости кривой в точке

Задание 8.

Дана функция z = f (x; y). Показать, что:

F .

z = F =

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = 6x² - 2xy +2x + 2y; A (2; 6); B (2,06; 5,92).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точка А (x₀; y₀) и вектор (а₁; а₂). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = 6x²у² +10xy²; A (2; 2); a (4; 2).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) ; в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Задание 14.

Вычислить длину дуги логарифмической спирали от до .

Задание 15.

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а > 0).

(х² + у²)⁷ = а⁸ х⁴ у².

Задание 16.

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость х о у.

х = 0, у = 0, z = 0, x = 4, у = 4, z = х² + у² + 1.

Задание 17.

Вычислить криволинейный интеграл

где е – дуга кривой, заданной параметрически x = t cos t, y = t sin t, z = t., ().

Вариант 21

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) б) .

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,47, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f(x)=x³-3x+3; [-1,5;1,5].

Задание 5.

Определить стороны прямоугольника, вписанного в прямоугольную трапецию, имеющего наибольшую площадь, если АВ=6,СD=14,AD=10.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) ; б)

Задание 7.

Найти уравнение касательной и нормали к циклоиде в точке, где t = .

Задание 8.

Найти полную производную сложной функции:

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² + xy + y²; A (1; 2); B (1,02; 1,96).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точки А (x₀; y₀) и А₁(х₁;y₁). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = 3x² - xy + x + y; A (1; 3); B (1,06; 1,92).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Задание 14.

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

Задание 15.

Переходя к полярным координатам, вычислить:

Задание 16.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость Хоу.

Задание 17.

Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл: где - пробегаемый в положительном направлении (против движения часовой стрелки) контур треугольника с вершинами в точках: Сделать чертеж.

Вариант 22

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д).

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) б) .

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,31, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f(x)=x³+x²-8x; [-3;1].

Задание 5.

Разбить число 8 на такие две части, чтобы сумма куба одной части и утроенной второй части была наименьшей. Чему равна эта сумма?

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) ; б) .

Задание 7.

Составить уравнение касательной и нормали к кривой x²+2xy²+4y⁴=6 в точке Р(1,-1).

Задание 8.

Найти полную производную сложной функции:

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = x² + 2xy + 3y²; A (2; 1); B (1,96; 1,04).

Задание 10.

Дана функция u = f (x; y; z), точка А (x₀; y₀; z₀) и вектор (а₁; а₂; a₃). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

u = x² + u² + z²; A (1; 1; 1); (2; 1; 3).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Задание 14.

Вычислить площадь фигуры ограниченной линией

Задание 15.

Переходя к полярным координатам, вычислить:

Задание 16.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость Хоу.

Задание 17.

Пользуясь формулой Грина вычислить криволинейный интеграл: где - пробегаемый в положительном направлении (против движения часовой стрелки) контур треугольника с вершинами в точках: Сделать чертеж.

Вариант 23

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г);

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) б) .

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,79, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f(x)=-1/3x³+3,5x²-10x-1/3; [-1;7].

Задание 5.

Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна ширине балки и квадрату ее высоты. Из бревна, диаметр которого 30 см, необходимо изготовить балку наибольшей прочности. Определить стороны прямоугольного сечения наибольшей прочности.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б)

Задание 7.

Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением в точке t = p/2.

Задание 8.

Найти полную производную сложной функции:

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = 3x² + 2y² + xy; A (-1; 3); B (-0,98; 2,97).

Задание 10.

Дана функция u = f (x; y; z), точка А (x₀; y₀; z₀) и вектор (а₁; а₂; a₃). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

u = x² + u² + z²; A (1; 1; 1); (1; 1; 1).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

Задание 14.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание 15.

Переходя к полярным координатам, вычислить:

Задание 16.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость Хоу.

Задание 17.

Пользуясь формулой Грина вычислить криволинейный интеграл: где - пробегаемый в положительном направлении (против движения часовой стрелки) контур треугольника с вершинами в точках: Сделать чертеж.

Вариант 24

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г);

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) ; б) .

Задание 3.

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа к функции f (x) = e^x, вычислить значение e^a при а = 0,62, с точностью до 0,001.

Задание 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f (x) на отрезке [а; в].

f(x)=-4x³/3+2x²; [-1;3].

Задание 5.

Вычислить наименьший периметр треугольника, построенного на прямоугольной системе координат, если две его вершины имеют координаты (0;2) и (6;2), а третья лежит на оси абсцисс.

Задание 6.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f (x) и используя результаты исследования, построить график.

а) б) .

Задание 7.

Составить уравнение касательной и нормальной плоскости к кривой в точке t= .

Задание 8.

Найти полную производную сложной функции:

Задание 9.

Дана функция Z = F (x; y) и две точки А (x₀; y₀) и В (x₁; y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ в точке В; 2) вычислить приближенное значение `z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точке А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, поучающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности Z = F (x; y) в точке С (x₀; y₀; z₀).

z = 2xy + 3y² – 5x; A (3; 4); B (3,05; 3,95).

Задание 10.

Дана функция z = f (x; y), точки А (x₀; y₀) и А₁(х₁;y₁). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора .

z = 5x² -3x-y-1; A (2; 1); А₁ (5; 5).

Задание 11.

Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) б) в) г)

Задание 12.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Задание 13.

Вычислить несобственный интеграл: или установить его расходимость.

Задание 14.

Переходя к полярным координатам, вычислить:

Задание 16.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость Хоу.

Задание 17.

Пользуясь формулой Грина вычислить криволинейный интеграл: где - пробегаемый в положительном направлении (против движения часовой стрелки) контур треугольника с вершинами в точках: Сделать чертеж.

Вариант 25

Задание 1.

Найти производные данных функций.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 2.

Найти и для заданных функций: а) у = f (x); б) x = (t), у = (t).

а) б) .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: