Вопрос 5. Вычисление пределов. Виды неопределенностей при вычислении пределов и способы их раскрытия.

Многие пределы могут быть найдены на основании знания поведения основных элементарных функций.

Пример 4.

Вычислить .

Функция при неограниченно возрастает, следовательно при . Дробь, у которой числитель постоянен, а знаменатель стремится к бесконечности, также стремится к нулю. Отсюда имеем .

Пример 5. Вычислить .

Дробная рациональная функция определена и непрерывна во всех точках за исключением тех, где знаменатель обращается в нуль. При , , поэтому значение предела находим путем подстановки в функцию . Имеем .

При вычислении пределов полезны следующие утверждения:

1. Предел постоянной функции равен значению этой постоянной.

2. Предел суммы, разности, произведения и частного функций равен сумме, разности и частному пределов этих функций.

3. Если и , то .

При вычислении пределов могут возникать неопределенности типов (1^¥) и другие.

Способы раскрытия неопределенностей.

Если появляется неопределенность типа то нужно и числитель и знаменатель дроби делить на х^к, где к - старшая степень.

Если появляется неопределенность типа то нужно стремиться разложить на множители числитель и знаменатель, выделяя множитель (х-а) или работая с сопряженным выражением.

Неопределенность типа может быть раскрыта с использованием первого замечательного предела и его следствий или с помощью следствий из второго замечательного предела.

Первый замечательный предел

Следствия:

Второй замечательный предел

или

где число е - иррациональное, е 2,71828...

Следствия:

(1^¥)

Неопределенность (1^¥) раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: