![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КУРС ЛЕКЦИЙ По дисциплине «Высшая математика» 1 семестр Для студентов заочной формы обучения Раздел №1 «Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии» Волгодонск Линейные (векторные) пространства. Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции: 1) сложение: для любых х, у Є L сумма (х + у) Є L, 2) умножение на число: для любого х Є L и любого числа λ произведение λх Є L, которые удовлетворяют 8 аксиомам: 1) х + у = у + х, где х,у Є L; 2) (х + у)+z = x+(у + z), где х,у,z Є L; 3) существует нулевой элемент Ө такой, что Ө + х = х, где х Є L; 4) для любого х Є L существует единственный противоположный элемент (–х) такой, что х + (-х)= Ө; 5) 1·х = х, где х Є L; 6) α(βх) = (αβ)х, где х Є L, α и β- числа; 7) α(х + у) = αх + αу, где х,у Є L, α- число; 8) (α + β) х = αх + βх, где х Є L, α и β- числа. Замечание: Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами. Примеры: Множество действительных чисел является линейным пространством. Множества всех векторов на плоскости и в пространстве являются линейным пространством. Множество всех матриц одного размера является линейным пространством. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Дана в линейном пространстве система векторов а1, а2, а3, … аn Є L. Определение: Вектор α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn Є L, где αi (i = 1,…,n) - числа, называется линейной комбинацией (ЛК) векторов а1, а2, а3, … аn. Определение: Система векторов линейного пространства а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно независимой (ЛНЗ), если линейная комбинация α1 а1+ α2 а2+α3 а3+…+ αn аn=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты α 1 =α 2 =α 3 =…=α n=0. Определение: Система векторов а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α1, α2 ,α3 … αn , не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn= 0. Примеры: Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой. 1) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ
а1 α1 а1 Два ненулевых, не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы. 2) Рассмотрим два ненулевых, коллинеарных вектора а1 ║а2.
Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|