![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Решение матричных игр с нулевой суммой для игр без седловой точкиТаким образом, для игры с седловой точкой нахождение решения заключается в выборе максиминной и минимаксной стратегии, которые и являются оптимальными. Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В этом случае можно получить оптимальное решение, используя смешанные стратегии. Смешанной стратегией называется сложная стратегия, состоящая в случайном применении стратегий из всего набора стратегий игрока с определенными вероятностями. Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий А 1, А 2, …, Аm c вероятностями р 1, р 2, …, рm. Смешанной стратегией игрока В называется применение чистых стратегий В 1, В 2, …, Вn c вероятностями q 1, q 2, …, qn. Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор: Оптимальное решение игры – это пара оптимальных стратегий Оптимальные смешанные стратегии Для игрока А: Для игрока В:
В результате решения задачи для игрока А находятся оптимальный вектор Решая задачу для игрока В, находят оптимальный вектор Цель игрока А – максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. цену игры v. Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации значения целевой функции F ( Цель игрока В – минимизировать свой гарантированный проигрыш, т.е. цену игры v. Минимизация цены игры v эквивалентна максимизации значения целевой функции F (
Пример. Найти решение и цену игры, платежная матрица которой представлена нижеследующей таблицей.
Решение. Проверим наличие седловой точки. Для игрока А максимин: Для игрока В минимакс: Так как значения α и β не совпадают, седловой точки нет, а цена игры v находится в промежутке [3; 4]. Решим задачу в смешанных стратегиях. Для этого составим пару двойственных задач. Для игрока А: Для игрока В:
Решим в Excel обе задачи. Находим экстремум целевой функции для обеих задач – он будет одинаков и равен для игрока А: F = 0,27. х 1 = 0,03, х 2 = 0,24. Теневые цены: 0; 0,18; 0,09; для игрока В: F = 0,27. у 1 = 0, у 2 = 0,18, у 2 = 0,09. Теневые цены: 0,03; 0,24. Отсюда находим цену игры
Находим компоненты вектора вероятностей применения игроком А своих стратегий:
Находим компоненты вектора вероятностей применения игроком В своих стратегий:
Проверим: Понимать это решение следует так: если разыгрывается 100 партий игры, то в соответствии с вероятностями применения стратегий игрок А, случайным образом чередуя применение стратегий, должен применить 1-ю стратегию 11 раз, 2-ю – 89 раз. Второй игрок также должен случайным образом чередовать применение своих стратегий и применить 1-ю стратегию 0 раз, 2-ю – 67 раз, 3-ю – 33 раза. В этом случае игрок А за 100 партий игры выиграет 367 единиц, а игрок В эту величину проиграет.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|