Скорость точки при естественном способе задания движения.

Пусть точка движется по какой-либо кривой. За промежуток времени точка переместится по кривой из положения в положение по дуге . По определению скорости имеем

, (9.20)

где - единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги. Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле .

Ускорение точки. Предположим, что в момент времени скорость точки равна , а в момент времени будет (рис. 9.18). Изменение вектора скорости за промежуток времени найдем как разность векторов и , если параллельно перенесем вектор в точку (рис. 9.18). Вектор

представляет собой приращение вектора скорости за промежуток времени .

Отношение вектора к промежутку времени называется средним ускорением точки за промежуток времени : .

Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к приращению времени при условии, что последнее стремится к нулю, т. е.

, (9.21)

так как . Можно также пользоваться записью: .

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.

Годографом скорости называется кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости проводится из одной и той же точки.

Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости, будет равна , т. е. ускорению точки при ее движении по траектории. Размерность ускорения , т.е. , и т. д.

Нахождение ускорения при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:

, , .

Так как вектор скорости точки можно представить в виде , то на основании (9.21) будем иметь

,

т. е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точки.

Можно записать также, что , , . Следовательно, проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты. Модуль ускорения определяется по формуле .

Зная проекции ускорения и его модуль, легко находим направляющие косинусы вектора ускорения:

, ,

.

Движение, заданное в полярных координатах. Пусть координаты точки заданы как функции времени: и . Согласно (9.17) имеем

.

Тогда по определению (9.21) получим

.

Так как на основании (9.15) и (9.16) и , то

.

Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления

, (9.26)

Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам

, , .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: