Билет 22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.

Мн-во {x из V| Ax = l0x} – собственное подпространство оператора A, отвечающее собственному значению l0. Размерность собственного подпространства – геометрическая кратность собственного значения, а кратность как корня – алгебраическая кратность.

Т Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности (собственное подпространство инвариантно относительно оператора, рассмотрим индуцированный оператор (оператор эквивалентный данному, но взятый на инвариантном подпространстве), тогда матрицей его будет l0I, f(l)=(l0 – l)^s, а характеристический многочлен является делителем исходного).

Т Сумма собственных подпространств оператора, отвечающих различным собственным значениям, является прямой суммой (любая система векторов линейно независима, как система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям).

Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.

Если для любого вектора подпространства его образ тоже лежит в этом подпространстве, то это подпространство называется инвариантным.

Т Пусть (1) нетривиальное инвариантное подпространство относительно оператора (2). Тогда существует базис пространства, в котором матрица оператора (2) имеет квазитреугольную форму (дополним базис инвариантного подпространства e1…ek до полного, Ae1 = a11e1 +… + ak1ek…, значит матрица имеет вид |A | B|

|O | C|)

Т Если пр-во является прямой суммой нетривиальных инвариантных подпространств, то в пространстве существует базис, в котором матрица оператора принимает квазидиагональную форму (аналогично предыдущей). Рассматривая линейный оператор на инвариантном подпространстве можно получить новый оператор (A|L)=Ax для любых x из L, называемый индуцированным оператором или сужением оператора.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: