Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Билет 41. Ортогональные дополнения ядра и образа линейного оператора. Теорема и альтернатива Фредгольма.




Т Для любого оператора ker A = imTA*, kerA*= imTA (для любых двух векторов x из ядра A и y из imA* имеем Ax = 0, y = A*y1 è (x,y)=(x, A*y1)=(Ax, y1) = 0 è kerA в imTA*, с другой стороны dim ker A = dim V – dim imA = dimV – dim im A* = dim imTA*).

Пусть V, W евклидовы (унитарные) пространства. A из L(V, W). Уравнение Az= u называется линейным операторным уравнением, вектор u – правой частью, вектор z – решением. Из всех систем линейных алгебраических уравнений можно получить операторные и наоборот. Все свойства систем уравнений сохраняются. Отметим некоторые свойства в терминах операторных уравнений. Уравнение A*w = 0 называется сопряженным уравнением.

Т (альтернатива Фредольма) Либо основное уравнение имеет решение при любой правой части, либо сопряженное к нему уравнение имеет нетривиальное решение.

Док-во r = rgA, m = dimW. Если r = m, то образ оператора совпадает со всем W, что означает, что при любой правой части есть решение. При этом rgA = rgA* è ker{A*}=0, те есть только тривиальное решение сопряженного уравнения. Условие r < m равносильно отличию от нуля дефекта сопряженного оператора, те есть ненулевое решение сопряженного уравнения, при этом образ исходного оператора не совпадает со всем пространством W, те есть правая часть, для которой нет решения.

Замечание: альтернатива Фредгольма для оператора действующего в одном пространстве, означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любой правой части, либо сопряженное уравнение имеет нетривиальное решение.

Т (теорема Фредгольма) Операторное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его правая часть ортогональна всем решениям сопряженного уравнения.

Док-во: уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть принадлежит образу оператора или с учетом первой Т этого билета когда принадлежит ортогональному дополнению ядра сопряженного оператора, те ортогональна всем решениям сопряженного уравнения.

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных