Билет 44. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Т Для любой квадратичной формы в евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормированный базис, в котором она принимает канонический вид (в ортонормированном базисе матрица симметрическая, симметрическая матрица подобна диагональной матрице так, что матрица перехода переведет её так же в ортонормированный базис, так как матрица перехода ортогональна (унитарна) Bf = =Q^H!AeQ)

Операция построения такого базиса называется приведением квадратичной формы к главным осям.

Т Канонические коэффициенты квадратичной формы, приведенной к главным осям, определены однозначно (соотношение Bf=Q^H!AeQ, означает, что канонические коэффициенты являются собственными значениями и не зависят от выбора базиса, тк все матрицы квадратичной формы в ортонормированных базисах подобны, а канонический базис состоит из ортонормированной системы собственных векторов).

Т Для любой квадратичной формы в евклидовом (унитарном) пространстве существует, и при том единственный, симметрический (эрмитов) оператор такой, что A(x, x) =(Hx, x)

Существование: в произвольном ортонормированном базисе, Ae – матрица в этом базисе, то A(x, x) = xe^H!Aexe, то A(x, x) = (!Aexe, xe). Рассмотрим линейный оператор, имеющий в этом базисе матрицу!Ae, то A(x, x) = (Hx, x).!Ae – самосопряженная матрица, а базис ортонормирован, то H – самосопряженный оператор.

Единственность: если есть два оператора, то для любого вектора (H1x, x) = (H2x, x) è ((H1 – H2)x, x) =0, оператор разность – самосопряжен, для него существует ортонормированный базис собственных векторов, все собственные значения равны 0, H1 – H2 = 0.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: