Билет 49. Нормированное пространство. Нормы Гёльдера.

Рассмотрим линейное вещественное или комплексное пространство. Отображение VàR, ставящее в соответствие каждому вектору вещественное число и для любых x, y из V a из R(C)

1) ||x|| >= 0, ||x|| = 0 çè x = 0

2) ||ax|| = |ax||

3) ||x + y|| <= ||x|| + ||y||

Линейное пространство с заданной на нем нормой называется нормированным пространством. ||x|| - норма вектора x. Норма определяет функцию векторного аргумента, которую будем называть функцией нормы.

||x||p = (Add(k = 1, p)|xk|^p)^1/p, p>=1 (1)

Т Выражение (1) является нормой в арифметическом пространстве

Док-во проверка аксиом нетривиально только для 3, совпадающее с классическим неравенством Минковского: для любых x, y из C, p>1:

(Add(k = 1, n)|xk+yk|^p)^(1/p) <=(Add(k = 1, n)|xk|^p)^1/p + (Add(k = 1, n)|yk|^p)^1/p.

Лемма 1 (неравенство Юнга): если p, q > 1, p^-1 + q^-1 = 1, a >=0, b >= 0

(a^1/p)(b^1/p) <= (a/p) + (b/p)

Для a =0 или b =0 верно. Для a > 0, b > 0 неравенство следует из выпуклости

ln(ux1 + jx2) > = ulnx1 + jlnx2, для любых x1, x2 и u + j = 1. u = p^-1, j = q^-1, x1 = a, x2 = b

ln((a/p) + (b/p)) > = (lna)/p + (lnb)/q = ln((a^1/p)(b^1/q)

Лемма 2 (неравенство Гёльдера) пусть числа p и q таковы, что p, q >= 1, p^-1 + q^-1 = 1, тогда для любых векторов верно:

Add(k = 1, n)|xk|*|yk| <= ((Add(k = 1, n)|xk|^p)^1/p) (Add(k =1, n) |yk|^q)^1/q.

Доказательство: Если один из векторов 0 – очевидно. Разделим оба вектора на (1)(для первого p, для второго q) от них, получим (1) от новых очевидно 1. Применим к числам x’ = xk /||x||p, y` = yk/||y||q, запишем неравнества Юнга по координатам |x`k||y`k| <= |x’k|^p/p + |y’k|^q/ q, сложив эти неравенства и использовав выражения для координат получим

Add(k = 1, n) |xk||yk|/||x||p||y||q <= p^-1(||x’||p)^p + q^-1(||y’||q)^q è в силу равенства норм 0 условие леммы

Для доказательства теоремы: применим неравенство суммы модулей к каждому слагаемому левой части:

Add(k = 1, n)(|xk + yk|)^p = Add(k = 1, n) |xk| |xk + yk}^(p-1). Применим к каждой сумме, положив q^-1 = 1 – p^-1:

Add (|xk + yk|)^p <= (Add(k = 1, n) |xk|^p)^(1/p) (Add(|xk + yk|)^((p-1)q))^1/q +

+(Add(k = 1, n)|yk|^p)^1/p(Add(k = 1, n) (|xk + yk|)^((p-1)q))^1/q = {(p-1)q = p} =

= ((Add(k = 1, n)|xk|^p)^(1/p) + (Add(k =1, n)|yk|^p)^1/p))(Add(k = 1, n)(|xk + yk|^p)^(1 – (1/p)).

Нормы ||x||p, p>= 1 называются нормами Гельдера (p – нормами). К нормам Гёльдера относят норму ||x||inf = max|xk| (нарисовать вместо inf знак бесконечности). Среди норм Геделя в основном используют первую, вторую и бесконечную нормы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: