Билет 48. Гиперповерхность второго порядка в евклидовом пространстве. Приведенные уравнения.

Рассматриваем евклидово пространство.

Общее уравнение:

A(x, x) + 2g(x) + c =0, множество всех векторов, удовлетворяющих этому условию называется гиперповерхностью второго порядка в евклидовом пространстве. A(x,x) – квадратичная форма, g(x) линейная форма, c – константа. Если задать базис, то можно переписать в виде: Add(i = j =1, n) aijxixj + 2Add(i=1, n)bixi + c =0, aij =aji, в компактной форме: X^TAX + 2b^TX + c = 0, A = A^T, X = (x1,…,xn)^T, b = (b1,…,bn)^T.

Приведенные уравнения:

1) Приведем квадратичную форму к главным осям, те найдем ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Канонические коэффициенты при этом будут определены однозначно (по Т о приведении к главным осям), lk!= 0, k <= r, lk=0, k > r. Уравнение преобразуется к виду: Add(k =1, r) lkx’k^2 + 2Add(k = 1, n)b’kx’k +c = 0.

2) Отображение r = x + a, a из E называется параллельным переносом на вектор a. Если lk!= 0, то x’’k = x’k + b’k/lk, получим: l1x’’1^2 +lrx’’r^2 + 2Add(k = r+1, n)b’kx’’k + c’ = 0,

3) В случае, если одно из b отлично от 0, рассмотрим арифметический вектор (br+1/a,…bn/a), где a – нормирующий коэффициент, и дополним этот вектор до ортонормированного базиса, пространства n – r. si = (si,r+1….si,n) искомая матрица преобразования имеет вид:

[1 ]

[ O ]

S= [ 1 ]

[ s1,r+1…..s1n ]

[ O …………… ]

[ sn-r,r+1..sn-r,n]

Матрица ортогональна (строки ортонормированны), поэтом у преобразование снова приводит к ортогональному базису, при этом все векторы не задествованые в произведениях остаются без изменения, а x’’’r+1 = (a^(-1))(Add(k = r +1, n)b’kx’’k k > r x’’’k = (a^-1)Add(k = r +1, n) skix’’i. Такое преобразование приведет к виду l1x’’’1^2 +…+ lrx’’’r^2 + 2ax’’’r+1 + c' =0, где можно избавится от свободного члена с помощью параллельного переноса, на вектор, у которого все координаты, кроме r+1 равны 0.

Те получится два типа уравнений:

1) l1x1^2 +…lrxr^2 + a0 = 0, l1….lr!= 0

2) l1x1^2 +…lrxr^2 + b0xr+1 = 0, l1…lrb0!= 0, которые принято называть приведенными уравнениями.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: