Билет 46. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если A(x) >0 для любого вектора, отличного от нулевого. Такие формы называют знакоопределенными. Квадратичные формы с нестрогим неравенством называют квазизнакоопределенными. Если существуют два вектора, для которых знаки различны, то такая форма называется знакопеременной.

Т Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда её положительный (отрицательный) индекс инерции равен размерности (для положительного: необходимость: A(x,x) >0 à A(ei, ei) > 0, A(ei, ei) =li (канонический коэффициент), достаточность: A(x, x) = Add(i =1, n) lixi^2>0)

Следствие: определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы положителен.

Т Критерий Сильвестра. Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда угловые миноры ее матрицы в произвольном базисе положительны (чередуют знаки, начиная с отрицательного)

1 утверждение.

Необходимость: рассмотрим произвольный базис e1,…,en. Lk = L(e1,…,ek), рассотрим квадратичные формы A(x) на Lk. Для любого вектора из подпространства A(x) >0 – её определитель положителен, но он является соответствующим минором.

Достаточность: из предыдущей теоремы и Б43.

2 утверждение:

рассмотреть –A(x, x), миноры (-1)^kdk >0.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: