Билет 39. Знакоопределенные операторы и матрицы. Квадратный корень из оператора.

Т Если в унитарном пространстве для любого вектора скалярное произведение его образа на него самого равно 0, то оператор нулевой (рассмотреть (B(y + z), y +z) = 0 (B(iy +z), iy +z) = 0, домножив после преобразования одно на –i, получить (By, z)=0 è B = O).

Т Линейный оператор эрмитов тогда и только тогда, когда (Ax, x) вещественно для любого вектора (необходимость: (Ax, x)=(x, A*x)-(x, Ax) à (Ax, x) =!(Ax, x) свойство скалярного произведения, достаточность: (Ax, x) = (x, Ax)=(x, A*x) è (x,(A-A*)x)=0 и по первой теореме). Эта теорема позволяет говорить о знаке самосопряженного оператора.

Положительно определенный (Ax, x) >0, неотрицательно определенный (Ax, x)>=0, отрицательно определенный (Ax, x) < 0, неотрицательно определенный (Ax, x)<=0. Скалярное произведение в ортонормированном базисе может быть записано в виде (Ax, x) = xe^HAexe, при естественном скалярном произведении и по знаку этого произведения мы можем определить понятия знака эрмитовой матрицы. Оператор положительно определен тогда и только тогда, когда имеет положительно определенную матрицу.

Т Самосопряженный оператор в унитарном пространстве положительно определен (аналогично для остальных знаков), когда его собственные значения больше 0 (…) (необходимость: (Ax, x) >0 è l(x, x) > 0 è l >0, достаточность: раз оператор самосопряженный, то есть ортонормированный базис собственных векторов, расписать скалярное произведение (Ax, x)).

Следствие: Если оператор положительно определен (отрицательно), то оператор обратим, тк det = l1…ln.

Т Оператор, обратный к положительно (отрицательно) определенному оператору, положительно (отрицательно) определен ((A^-1)*= (A*)^-1, A > O, все собственные значения сопряженного оператора положительны, так как они обратны соответствующим собственным значениям самого оператора).

Т Для любого неотрицательно определенного оператора A существует, и при том единственный неотрицательно определенный оператор B, B^2 = A

Существование: возьмем ортонормированный базис собственных векторов и l`i = sqrt(li)

Единственность: пусть есть второй положительно определенный оператор, тогда у него есть базис собственных векторов, Cfi = mkfk è Afi = C^2fk = mk^2fk è mk^2= li, покажем, что Cei = sqrt(li)ei, разложим ei по базису f, в силу линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, останутся в разложении только ei и fk, Cei = Add(k = 1, n)akCfk = Add(k=1, n)aksqrt(li)fk = sqrt(li)Add(akfk) = sqrt(li)ei, чтд.

Оператор B называется квадратным корнем из оператора A.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: