Билет 42. Билинейные и квадратичные формы. Привидение к каноническому виду. Конгруэнтность и эрмитова конгруэнтность.

Отображение A: VxV à P называется билинейной квадратичной формой в пространстве V над полем P, если для любых x, y, z из пространства V и a из поля P верно:

1) A(x + y, z) = A(x, y) +A(y, z)

2) A(ax, y)=aA(x, y)

3) A(x, y+ z) = A(x, y) + A(x, z)

4) A(x, ay) = aA(x, y)

Билинейная квадратичная форма называется симметричной, если A(x, y) = A (y, x), и кососимметричной, если A(x, y) = -A(y, x).

A(x, y) = Add(i = 1, j = 1, n)aijxiyj – билинейная форма в n-мерном пространстве..

Т Пусть V – линейное пространство над полем, есть его базис. Для любых чисел aij i=1…n; j=1…n из поля существует, и при том единственная билинейная форма, такая, что A(ei, ej) = aij (Билинейная форма, заданная по описанному до теоремы правилу существует, покажем, что любая билинейная форма, удовлетворяющая условию теоремы, совпадает с данной, для чего разложим билинейную форму по правилам).

Билинейная форма в n-мерном пространсве – общее представление билинейной форме в базисе. Можно записать как A(x, y) = xe^TAeye

Т Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех билинейных форм и множеством матриц nxn (каждая билинейная форма имеет матрицу и в силу однозначности координат различные билинейные формы имеют различные матрицы).

Т Билинейная форма симметрична (кососимметрична) тогда и только тогда, когда её матрица в любом базисе симметрична (кососимметрична) (необходимость проверяется непосредственно, достаточность A^Te = Ae, то A(x,y) = y^TAe^Txe = A(y, x)).

Т Матрицы билинейной формы в базисах e, f= eQ Af=Q^TAeQ (A(x, y) = xe^TAeye = xf^TQ^TAeQyf= xf^TAfyf из произвольности векторов).

Следствие: rgAe = rgAf.

Рангом билинейной формы называется ранг её матрицы в произвольном базисе. Если ранг меньше размерности пространства, то она называется вырожденной.

Т Билинейная форма вырождена тогда и только тогда, когда существует x из V, такой что A(x, y) = 0, для y из пространства (систему равенств Add(i =1, n) xA(ei, ej) = 0 расписать по координатам, как {a11x1 +…+an1xn0;…;a1nx1 +…+ annxn= 0}, те система имеет нетривиальное решение, те ранг меньше размерности).

Пусть есть симметричная билинейная форма. Квадратичной формой называется отображение A: V à P, которое каждому вектору ставит в соответствие A(x, x), те сужение симметричной билинейной формы на диагональ (декартового квадрата). Билинейная форма A(x, y) называется полярной билинейной формой к квадратичной форме.

Т Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы определена однозначно (A(x,y) = ½(A(x +y, x+y) – A(x, x) – A(y, y))).

Матрицей квадратичной формы в базисе называется матрица полярной к ней билинейной квадратичной формы.

1) Матрица квадратичной формы симметрична

2) Существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами и симметрическими матрицами порядка nxn

3) Матрицы квадратичной формы в разных базисах связаны соотношением e, f= eQ Af=Q^TAeQ

Матрицы A, B B = Q^TAQ для некоторой невырожденной матрицы Q называются конгруэнтными. Отношение конгруэнтности является отношением эквивалентности.

Таким образом, матрицы квадратичной формы в базисах конгруэнтны, а если базисы ортонормированны, то подобны.

4) В базисе квадратичная форма может быть записана в виде A(x, x) = xe^TAexe и в виде A(x, x) = Add(i = 1, n) aijxixj, aij = aji (общий вид квадратичной формы в базисе) а функция n переменных – квадратичной формой n переменных.

5) Рангом квадратичной формы называется ранг её матрицы.

Базис называется каноническим базисом квадратичной формы, если в нем ее матрица диагональная. В каноническом базисе A(x) = l1x1^2 +…+ lnxn^2 – канонический вид квадратичной формы, а числа l1,…,ln – канонические коэффициенты. Канонический вид так же называется суммой квадратов.

Т Для любой квадратичной формы существует канонический базис/любая квадратичная форма невырожденным преобразованием координат приводится к сумме квадратов.

1) Пусть среди угловых миноров нет нулевых. Тогда a11!= 0,

A(x, x) = a11x1^2 + 2(Add(k = 2, n)a1kx1xk + (Add(i = 2, k =2, n)aikxixk =

=a11(x1 + Add(k = 2, n) a1kxk/a11)^2 – a11(Add(k = 2, n)a1kxk/a11)^2 + Add(i = 2, k =2, n) aikxixk. x1’ = x1 + Add(k = 2, n) a1kxk/a11, остальные координаты не меняем. При этом невырожденное преобразование выглядит

[1 –a12/a11 … -a1n/a11]

[ 0 1… 0 ]

Q1 = [……………………….]

[0………………….. 1]

Новый вид квадратичной форма – A(x, x) = a11x1^2 + h(x2’…..xn’). Миноры не изменятся, а a’22= d2/d1!= 0, можем применить первый шаг к новой квадратичной форме.

Это метод Лагранжа

2) Пусть среди миноров есть нулевые. Будем использовать метод Лагранжа, пока не получим aii = 0. Если среди диагональных элементов есть ненулевые – переименуем переменные, так чтобы не нулевая стала на нужном месте. Пусть нет ненулевых. Если все элементы новой подматрицы равны 0, то мы нашли искомый базис. Пусть есть ненулевой недиагональный, те содержится член вида 2aijxkxj. Перейдем к координатам xk = x’k + x’j, xj = x’k – x’j, x’s = xs, s!=k, j. Снова получим первую ситуацию.

Т Если в матрице ранга r первые r угловых миноров отличны от нуля, то существует базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид Ae=diag(l1,…,lr,0…0), где lk = dk/dk-1(отношение Якоби). (выполним r шагов метода Лагранжа)

Т Квадратичная форма вырождена тогда и только тогда, когда существует вектор x!= 0, A(x, x) = 0 (следствие теоремы для билинейных форм).

Эрмитовой квадратичной формой (эрмитовой формой) называется A: V à C, A(x, y) – полярная полуторалинейная форма. Эрмитова форма обладает свойставми:

1) Полуторалинейная форма опеределена однозначно. A(x + y, x + y) = A(x, x) + A(y,y) + A(x, y) +!A(x, y), A(x + iy, x + iy) = A(x, x) + A(y, y) – iA(x, y) + i!A(x, y), в силу того, что A(x, x) вещественно для любого вектора: ½(A(x +y, x+y) – A(x, x) – A(y, y)) = ReA(x, y), ½(A(x + iy, x+iy) – A(x,x) – A(y, y)) = imA(x, y)

2) Матрица эрмитовой квадртатичной формы эрмитова, значит её определитель вещественен, все угловые миноры действительны, все канонические коэффициенты вещественны

3) Общий вид эрмитовой квадратичной формы A(x, x) = Add(i, j = 1 n)aijxi!xj, aij =!aji A(x, x) = xeTAe!xe = xeHAeTxe = xeH!Aexe, AeH = Ae

4) f = eQ, Af = QTAe!Q. Комплексные матрицы называются эрмитово конгруэнтными, если B = QTAe!Q

5) Канонический вид эрмитовой квадратичной формы A(x, x) = Add(k =1, r) lk|xk|^2, r = rgA

6) Метод Лагранжа приведения к каноническому виду применим и для эрмитовой формы, исключение состоит лишь в выделении на каждом шаге полного квадрата модуля, пример первого шага f(x1,….,xn) = a11|x1 + Add(k =2, n)(a1k/a11)xk|^2 + +g(x2,…, xn)

7) Справедливы формулы Якоби

8) Эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения, по этому для неё будет справедлив закон инерции, сигнатурное правило Якоби, критерий Сильвестра.

9) Отображение A: VxV à C скалярное произведение тогда и только тогда, когда оно является полуторалинейной формой, полярной к положительно определенной эрмитовой. Это утверждение определяет общий вид скалярного произведения в комплексном пространстве ((x, y) = xeTAe!ye, Ae – положительно определенная матрица).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: