Билет 56. Вариационные (экстремальные) свойства собственных значений самосопряженного оператора (матрицы).

Экстремальные задачи – задачи, связанные с нахождением экстремумов функций. Функция f(x) = (Ax,x)/(x, x), x!= 0 – отношение Рэлея. Рассматриваем ортонормированный базис, отвечающий собственным значениям l1>=l2…>=ln, под нормой понимаем евклидову норму, те ||x|| = sqrt((x,x)), отношения Рэлея может быть записано в виде f(x) = (Ax, x), ||x|| =1.

Т Для самосопряженного оператора справедливы равенства l1 = max {||x||=1} (Ax,x), ln=min{||x||=1}(Ax,x), (С учетом ортонормированности базиса (Ax,x) = Add(i=1, n)li|xi|^2, ||x|| = 1 è l1>= (Ax,x)>=ln, причем (Ae1, e1)= l1, (Aen, en) = ln è l1, ln – наибольшее и наименьшее значение (Ax,x) на единичной сфере).

Замечание: эта теорема дает экстремальные свойства и квадратичной формы в евклидовом (унитарном) пространстве: на единичной сфере квадратичная форма A(x, x) принимает экстремальные значения на тех векторах, которые являются собственными векторами самосопряженного оператора, такого, что A(x,x) = (Hx,x).

Т Если L – линейная оболочка собственных векторов ei1,…,eik (i1 <…<ik), из базиса самосопряженного оператора, то li1 = max{||x|| =1, x из L}(Ax,x), lik = min{||x|| = 1, x из L}(Ax, x) (аналогично предыдущей).

Т (теорема Куранта-Фишера) Для собственных значений самосопряженного оператора справедливы соотношения:

lk = max{Lk} min{||x||=1, x Lk}(Ax,x), lk = min{Ln-k+1} max{||x||=1, x Ln-k+1}(Ax,x), где максимум (в первом соотношении) берется по всевозможным подпространствам k-мерным пространствам Lk, а минимум (во втором) – по всевозможным (n-k+1)-мерным подпространствам пространства V.

Рассмотрим произвольное k-мерное подпространство и Wn-k+1 – линейная оболочка собственных векторов ek,…,en, dimLk + dimWn-k+1 = n +1 è есть вектор в области пересечения. Нормируем его и назовем x0, по предыдущей теореме f(x0) <= lk, но он же приндалежит Lk, то есть в любом подпространстве размера k заведомо есть вектор, нормой 1, f(x0) <lk. Равенство достигается для Lk= L(e1,…,ek) è lk = max{Lk} min{||x||=1, x Lk}(Ax,x), чтд. второе соотношение аналогично).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: