Билет 58. Соотношения разделения собственных значений и сингулярных чисел матриц и подматриц.

Главной подматрицей k-ого порядка называется матрица, составленная из элементов основной матрицы, расположенных в k строках и k столбцах, с одинаковыми номерами.

Т Пусть самосопряженная матрица имеет собственные значения l1>=…>=ln, и пусть её подматрица B – её главная подматрица (n-1) порядка. Тогда собственные значения m1>=m2>=….>=mn этой подматрицы разделяют собственные значения исходной матрицы, те l1 >=m1>=l2>=m2…>=ln-1>=mn-1>=ln.

Доказательство: без ограничения общности можно считать, что подматрица B находится в верхнем левом углу матрицы A. Исходную матрицу будем рассматривать как матрицу самосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе g1…gn, а матрицу B – как матрицу самосопряженного оператора в базисе g1,…,gn-1 подпространства исходного пространства. Очевидно, что для векторов данного подпространства (Bx, x) = (Ax, x), Рассмотрим базис собственных векторов оператора B f1…fn-1, m1,…mn-1 – соответствующие собственные значения. Обозначим L`k=L(f1…fk), L`n-k=L(fk,…,fn-1). На основании второй теоремы Б56 mk = min{||x|| =1, x L`k}(Ax, x), mk = max{||x|| =1, x L’n-k}(Ax, x), Так как L’k – одно из k-мерных подпространств исходного пространства, то в силу теоремы Куранта-Фишера mk <= max{Lk} min{||x||=1, x Lk} (Ax, x) = lk, с другой стороны аналогичное соотношение. ЧТД.

Эти соотношения называется соотношениями разделения собственных значений. Следствие. Если A – матрица (вещественная или комплексная), B – её подматрица из n-1 столбцов исходной матрицы, то для сингулярных чисел p1 >=…>=pn матрицы A и q1>=…>qn-1 матрицы B имеют место соотношения p1 >=q1>=p2…>=qn-1>=pn. Эти неравенства вытекают из соотношений разделения собственных значений самосопряженной матрицы A^HA, для которой матрица B^HB является главной подматрицей предыдущего порядка. Соотношения называются соотношениями разделения сингулярных чисел.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: