Классическая модель управления

Следуя [23], введем обозначения (рис. 8.26): - длина маятника, - масса маятника, - масса тележки, - ускорение свободного падения, - управляющая сила, приложенная к тележке, и - горизонтальная и вертикальная составляющие сил, действующих на маятник, - угол отклонения маятника от вертикали, - момент второго порядка в плоскости качания маятника, .

Уравнение движения перевернутого маятника как объекта управления можно записать следующим образом [23]:

крутящий момент относительно точки G

;

смещение проекции точки G на ось y

;

смещение проекции точки G на ось x

;

перемещение тележки (параллельно оси x)

.

Линейная аппроксимация этих уравнений при условии управления углом в достаточно малой области (, , , ) позволяет упростить такую систему уравнений и привести ее к виду:

;

;

;

.

Подставляя в первое уравнение выражения для и , найденные из остальных уравнений, получим дифференциальное уравнение движения перевернутого маятника в форме

(8.26)

Для удерживания маятника в вертикальном положении с помощью обычной системы управления с обратной связью зададим управляющую переменную в виде:

(8.27)

что соответствует пропорционально-дифференциальному (ПД) регулятору.

Для обеспечения устойчивости выберем значения коэффициентов:

, ,

что дает отрицательные значения корней

,

в характеристическом уравнении

,

соответствующем (8.26).

Таким образом, для удержания перевернутого маятника в вертикальном положении можно использовать управляющее воздействие

(8.28)

при котором уравнение устойчивого движения имеет вид:

(8.29)

В табл. 8.36 приведена динамика изменения переменных (рад) и (рад/с) полученная из (8.29) методом Рунге-Кутта, при различных начальных условиях: , и . При решении уравнения (8.29) использовались следующие значения параметров:

кг, кг, см, м/с².

Таблица 8.36.

Поведение перевернутого маятника под управлением ПД-регулятора

0.0	0.175	0.0000	0.105	0.0000	0.035	0.0000
0.1	0.150	-0.3523	0.090	-0.2114	0.030	-0.0705
0.2	0.115	-0.3261	0.069	-0.1957	0.023	-0.0652
0.3	0.086	-0.2540	0.052	-0.1524	0.017	-0.0508
0.4	0.064	-0.1908	0.039	-0.1145	0.013	-0.0382
0.5	0.048	-0.1421	0.029	-0.0852	0.010	-0.0284
0.6	0.035	-0.1056	0.021	-0.0633	0.007	-0.0211
0.7	0.026	-0.0784	0.016	-0.0470	0.005	-0.0157
0.8	0.020	-0.0582	0.012	-0.0349	0.004	-0.0116
0.9	0.015	-0.0432	0.009	-0.0259	0.003	-0.0086
1.0	0.011	-0.0321	0.006	-0.0193	0.002	-0.0064
1.1	0.008	-0.0238	0.005	-0.0143	0.002	-0.0048
1.2	0.006	-0.0177	0.004	-0.0106	0.001	-0.0035
1.3	0.004	-0.0131	0.003	-0.0079	0.001	-0.0026
1.4	0.003	-0.0098	0.002	-0.0059	0.001	-0.0020
1.5	0.002	-0.0072	0.001	-0.0043	0.000	-0.0014
1.6	0.002	-0.0054	0.001	-0.0032	0.000	-0.0011
1.7	0.001	-0.0040	0.001	-0.0024	0.000	-0.0008
1.8	0.001	-0.0030	0.001	-0.0018	0.000	-0.0006
1.9	0.001	-0.0022	0.000	-0.0013	0.000	-0.0004
2.0	0.001	-0.0016	0.000	-0.0010	0.000	-0.0003

В дальнейшем табл. 8.36 будет использована как обучающая выборка для настройки нечеткой модели управления.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: