Связь с функциями Ляпунова

Покажем, что известные в теории устойчивости функции Ляпунова можно использовать для синтеза нечетких правил управления динамической системой.

Второй, или прямой, метод Ляпунова [20] позволяет исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решения самих уравнений. Критерий устойчивости был разработан Ляпуновым на основании следующего простого физического представления о положении равновесия: равновесное состояние системы асимптотически устойчиво, если все траектории процесса, начинающиеся достаточно близко от точки равновесия, идут таким образом, что приводят к минимуму, подходящим образом определенную, <энергетическую> функцию, причем положение локального минимума энергии соответствует самой точке равновесия.

Рассмотрим использование этого критерия применительно к общему нелинейному уравнению:

, , (8.31)

где x - вектор состояния системы.

Предположим, что и функция f непрерывна в окрестности начала координат.

Определение функции Ляпунова. Функция называется функцией Ляпунова (энергетической функцией) системы (8.31), если:

1) ,

2) для всех в окрестности начала координат,

3) вдоль траектории системы (8.31).

Основной результат, полученный Ляпуновым, был сформулирован в виде следующей теоремы об устойчивости.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Положение равновесия системы (8.31) асимптотически устойчиво в том и только в том случае, если существует функция Ляпунова системы.

Подчеркнем, что метод Ляпунова требует знания уравнений динамики системы. Нас же будет интересовать случай, когда такие уравнения отсутствуют.

Вернемся к перевернутому маятнику (рис.8.26) и предположим, что известна лишь следующая априорная информация:

а) состояния системы определяются координатами и ;

б) пропорционально управлению u, т.е. если u возрастает (убывает), то возрастает (убывает).

Для применения теоремы Ляпунова к перевернутому маятнику, выберем кандидатом на функцию Ляпунова следующую функцию:

(8.32)

Поскольку и , то для того, чтобы была функцией Ляпунова, необходимо обеспечить:

(8.33)

Нечеткую базу знаний об управлении сформулируем как условия выполнения последнего неравенства. Для этого рассмотрим три случая.

Если и имеют противоположные знаки, то и неравенство (8.33) будет выполняться при .

Если и положительны, то (8.33) будет выполняться при .

Если и отрицательны, то (8.33) будет выполняться при .

Используя приведенные рассуждения и априорную информацию о том, что пропорционально u, получаем четыре нечетких правила устойчивого управления перевернутым маятником:

ЕСЛИ положительный И отрицательный,

ТО u нулевой,

ЕСЛИ отрицательный И положительный,

ТО u нулевой,

ЕСЛИ положительный И положительный,

ТО u большой отрицательный,

ЕСЛИ отрицательный И отрицательный,

ТО u большой положительный.

Настройка этой базы знаний может производиться путем подбора формы функций принадлежности соответствующих термов.

Принципиальные отличия классической и нечеткой систем управления представлены в табл. 8.37.

Таблица 8.37.

Сравнение систем управления

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аведьян Э.Д. Алгоритмы настройки многослойных нейронных сетей
//Автоматика и телемеханика.- 1995.- № 4.- С. 106-118.

2. Азарова А.О., Юхимчук С.В. Математическая модель финансового риска на базе нечеткой логики // Управляющие системы и машины.- 1998.-№6.-С. 9-15.

3. Алексаков Г.Н., Гаврилин В.В., Федоров В.А. Структурные модели динамических процессов.- М.:МИФИ.- 1989.- 62 с.

4. Архангельский В.И., Богаенко И.Н., Грабовский Г.Г., Рюмшин Н.А. Системы фуцци-управления.- К.:Техн_ка.- 1997.-208 с.

5. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях.. В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. -М.: Мир.- 1976. - С.172-215.

6. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования.- Рига: Зинатне.- 1990. - 184 с.

7. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний.- М.:Наука.-1987.-384 с.

8. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности / Вороновский Г.К., Махотило К.В., Петрашев С.Н., Сергеев С.А. - Харьков:Основа.- 1997.-212 с.

9. Герасимов Б.М., Тарасов В.А., Токарев И.В. Человеко-машинные системы принятия решений с элементами искусственного интеллекта.- К.: Наукова думка.- 1993.- 180 с.

10. Глушков В.М. Введение в АСУ. -Киев:Тэхника.-1974.-320 с.

11. Головенкин В.П. Оценка качества дипломных проектов и работ. - К.:УМК ВО.- 1989. - 27 с.

12. Джеффри Е. Хинтон. Как обучаются нейронные сети // В мире науки. - 1992. - № 11-12. - С. 103-110.

13. Дубовой В.М., Квєтний Р.Н. Програмування комп'ютерних систем автоматики _ управл_ння. - В_нниця: ВДТУ.- 1997.-185 с.

14. Дюбуа Д. Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике.-М.:Радио и связь.- 1990.-288 с.

15. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений.-М.:Мир.- 1976.-167 с.

16. Ивахненко А.Г., Лапа В.Г. Предсказание случайных процессов.- Киев:Наукова думка.- 1971.- 416 с.

17. Козак А.А., Кузнецов П.О., Ротштейн А.П. Анализ надежности информационно-измерительных систем на ранних этапах проектирования
// Стандартизация и измерительная техника. - Вып. 2. - Красноярск.- 1976. - С. 128-131.

18. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств.-М.:Радио и связь.- 1982.- 432 с.

19. Куссуль Э. М. Ассоциативные нейроподобные структуры. - К.: Технiка.- 1992. - 210 с.

20. Математические основы теории автоматического регулирования, т.I, Под ред Б. К. Чемоданова.- М.: Высш. школа.- 1977.- 366 с.

21. Мкртчян С.О. Нейроны и нейронные сети. - М.:Энергия.-1989.-178 с.

22. Мокин Б.И., Грабко В.В. Динь Тхань Вьет. Математические модели и информационно - измерительные системы для технической диагностики трансформаторных вводов.-Винница: ВГТУ, Универсум-Винница.- 1997.-130 с.

23. Накано Э. Введение в робототехнику. - М.: Мир.- 1988. - 334 с.

24. Нейрокомпьютеры и интеллектуальные роботы / под ред. Н.М. Амосова. - К.: Наукова думка.- 1991. - 272 с.

25. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова.-М.:Наука.-1986.-312 с.

26. Нечеткие множества и теория возможностей: последние достижения. Под. ред. Р.Р. Ягера. - М.:Сов. радио.-1986.-408 с.

27. Нечипоренко В.И. Структурный анализ систем (эффективность и надежность). - М.: Сов. радио. - 1977. - 216 с.

28. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.:Наука.- 1983. -384 с.

29. Поспелов Д.А. Большие системы. Ситуационное управление.-М.:Знание.- 1975.-64 с.

30. Растригин Л.А. Этот случайный, случайный, случайный мир. -М.: Молодая гвардия.- 1974. - 207 с.

31. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: в 2-х кн.-М.:Мир.- 1986.-320 с.

32. Ротштейн А.П., Кательников Д.И. Идентификация нелинейных объектов нечёткими базами знаний //Кибернетика и системный анализ.-1998.-№5.-С.53-61.

33. Ротштейн А.П., Лойко Е.Е., Кательников Д.И. Прогнозирование количества заболеваний на основе экспертно-лингвистической информации //Кибернетика и системный анализ. -1999.-№2.- С.178-185.

34. Ротштейн А.П. Медицинская диагностика на нечеткой логике. - Винница:Континент-Прим.- 1996. - 132с.

35. Ротштейн А.П., Митюшкин Ю.И. Идентификация нелинейных зависимостей нейронными сетями // Проблемы бионики.- 1998.-№49.-С.168-174.

36. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Нечеткая надежность алгоритмических процессов.- Винница: Континент-Прим.-1997.- 142 с.

37. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Прогнозирование надежности алгоритмических процессов при нечетких исходных данных // Кибернетика и системный анализ.- 1998.- № 4.- С.85-93.

38. Ротштейн О.П., Васюра А.С., Черноволик Г.О. Ранжування студент_в на баз_ парних пор_внянь _ неч_тких множин //В_сник ВП_.-1997.-№2.-С.93-96.

39. Ротштейн О.П., Єгоров С.О., Черноволик Г.О. Оц_нка якост_ дипломного проектування на основ_ неч_ткої лог_ки // В_сник ВП_. -1995.- №4(9).- С. 52-58.

40. Ротштейн О.П., Жупанова М.О., Шеверда В.М. Диференц_йна д_агностика _шем_чної хвороби серця на основ_ неч_ткої лог_ки //В_сник ВП_.-
№3. - 1994.-C. 32-38.

41. Ротштейн О.П., Ларюшк_н Є.П., Катєльн_ков Д._. Багатофакторний анал_з технолог_чного процесу б_оконверс_ї на основ_ л_нгв_стичної _нформац_ї
// В_сник ВП_.-1997. -№3.- С.-38-45.

42. Ротштейн О.П., М_тюшк_н Ю._. Застосування нейронних мереж для _дентиф_кац_ї нел_н_йних залежностей // Вим_рювальна та обчислювальна техн_ка в технолог_чних процесах. - 1998. - №3.- С. 9-15.

43. Ротштейн О.П., М_тюшк_н Ю._. Нейро-л_нгв_стична _дентиф_кац_я нел_н_йних залежностей // Вим_рювальна та обчислювальна техн_ка в технолог_чних процесах.-1998.-№4.- C. 5-12.

44. Ротштейн О.П., ПєтухА.М., Петренко М._., Войтко В.В. Вар_антний анал_з на баз_ неч_тких парних пор_внянь: методика та застосування на приклад_ пор_вняння сем_отичних систем // Вим_рювальна обчислювальна техн_ка в технолог_чних процесах. - 1998. - №2. - С. 17 - 24.

45. Ротштейн О.П., Ребедайло В.М., Кашканов А.А. _дентиф_кац_я коеф_ц_єнта зчеплення кол_с автомоб_ля з дорожн_м покриттям на неч_тк_й лог_ц_
//Вим_рювальна та обчислювальна техн_ка в технолог_чних процессах.-1998.-№2.-С. 23-29.

46. Ротштейн О.П., Черноволик Г.О., Ларюшкин Е.П. Метод побудови функц_й належност_ неч_тких множин // В_сник ВП_. - 1996. - №3. - С.72-75.

47. Ротштейн О.П., Штовба С.Д. Оц_нка над_йност_ алгоритм_чних процес_в при неч_тких початкових даних // В_сник ВП_.-1996.-№2.-С.30-37.

48. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем.- М: Радио и связь.- 1991.- 224 с.

49. Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций. - М.: Сов. радио.-1977.-304 с.

50. Сучанский М.Е. Рассуждения о физических системах на качественном уровне //Техническая кибернетика.- 1992.- №5.- С. 82-97.

51. Хартман К. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. - М.: Мир. - 1977. - 552 с.

52. Хубка В. Теория технических систем. - М.: Мир.-1987. - 208 с.

53. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука.- 1984. - 320 с.

54. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. - М.: Энергоатомиздат.- 1987. - 81 с.

55. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.-М.:Мир.- 1975.-321 с.

56. Baldwin I.F., Pilsworth B.W. A model of Fuzzy Reasoning through Multivalued Logic and Set Theory //International J. Man-Mach. Studies.- 1979.- №11.- p.351-380.

57. Bojadziev G., Bojadziev M. Fuzzy Logic for Business, Finance and Management //Advances in fuzzy systems.- 1997.- Vol 12. World Scientific.- 232 p.

58. Gen, M., Cheng, R. Genetic Algorithms and Engineering design.- John Wiley & Sons.- 1997.-352 p.

59. Haupt R., Haupt S. Practical Genetic Algorithms.- John Willey & Sons.- 1998.- 177 p.

60. Hung S.L., Adeli H. Machine Learning.- John Willey & Sons.- 1995.- 211 p.

61. Kacprzyk J. Multistage Fuzzy Control: A model-based approach to fuzzy control and decision making.- John Willey & Sons.- 1997.- 327p.

62. Margoliot M., Langholz G. New approach to the design of fuzzy control rules. FUZZY'97 - International Conf. on Fuzzy Logic and its Application in Zichron, Israel, 1997.- p. 248-253.

63. Mayoraz Frederic, Thierry Cornu, Laurent Vulliet. Prediction of Slope Movements Using Neural Networks //Fuzzy Systems & A.I.-1995.-Vol.4.№1.-
p.9-17.

64. Miller G.A. The Magic Number Seven Plus or Minus Two: Some Limits on Our Capacity for Processing Information //Psychological Review.- 1956.- № 63.- p. 81-97.

65. Nauck D., Klawonn F., Kruse R. Foundation of Neuro-Fuzzy Systems.- John Willey & Sons.- 1997.- 305 p.

66. Nie J. Nonlinear time series forecasting: A fuzzy neural approach.
// Neurocomputing.-1997.-Vol 16.№1.- p.63-76.

67. Rotshtein А. Design and Tuning of Fuzzy Rule-Based Systems for Medical Diagnosis. In N.-H. Teodorescu (ed): Fuzzy and Neuro - Fuzzy Systems in Medicine.- CRC Press.- 1998.-p.-243-289.

68. Rotshtein A. Fuzzy Models of Labour System Functioning Reliability and Quality //Ergonomics of Hybrid Automated Systems.- Elsevier.- 1992.- p. 139-145.

69. Rotshtein A. Fuzzy Reliability Analysis of Man-Machine Systems. In "Reliability and Safety Analysis under Fuzziness". Studies in Fuzziness. Vol. 4.- Phisica-Verlag, A Springer Verlag Company.- 1995.- p. 245-270.

70. Rotshtein A., Kashkanov A. Fuzzy Expert System for Identification of Car Wheels Adhesion Factor with a Road Surface. EUFIT'98 - 6-th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing in Aachen, Germany, 1998.- p. 1735-1740.

71. Rotshtein A. P., Katelnikov D.I. Design and Tuning of Fuzzy If - Then Rules for Automatic Classification.. NAFIPS'98 - International Conf. in Tampa, USA, 1998. - p.50-55.

72. Rotshtein A. P., Katelnikov D.I., Goldenberg L.N. Design and tuning of the fuzzy expert systems for medical diagnostics. BEMI'97 - International Workshop "Biomedical Engineering & Medical Informatics" in Gliwice, Poland, 1997.-p.106-110.

73. Rotshtein A. P., Katelnikov D.I. Tuning of Fuzzy Rules for Nonlinear Objects Identification with Discrete and Continuous Output. EUFIT'98 - 6th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing in Aachen, Germany, 1998.- p. 929-934.

74. Rotshtein A. P., Katelnikov D.I., Zlepko S.M. Fuzzy rule-based expert system for differential diagnosis of ischemia heart disease. FUZZY'97 - International Conference "Fuzzy Logic and Its Applications" in Zichron, Israel, 1997.- p.367-372.

75. Rotshtein A. Modification of Saaty Method for the Construction of Fuzzy Set Membership Functions. FUZZY'97 - International Conference "Fuzzy Logic and Its Applications".in:Zichron, Israel, 1997.- p.-125-130.

76. Rotshtein A., Shtovba S. Fuzzy Logic - Algorithmic Fault Tree Analysis. EUFIT'96 - Fourth European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing in Aachen, Germany, 1996.- p. 1565-1569.

77. Rotshtein A., Shtovba S. Fuzzy Reliability Analysis and Optimization of Algorithmic Processes. EUFIT'97 - 5^th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing in Aachen, Germany, 1997.- p. 67-71.

78. Rummelhart, D. E. McClelland, J. L. Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition (vol. 1 & 2)..-The MIT Press.-1986. -320 c.

79. Rumelhart D.E., Hinton G,E., Williams R.J. Learning Internal Representation by Back - Propagation Errors //Nature.- 1986.-323.- p. 533-536.

80. Schneider M., Kandel A., Langholz G., Chew G. Fuzzy Expert System Tools.- John Willey & Sons.- 1996.- 198 p.

81. Tang K.S, Man K.F., Kwong S. and Q. He. Genetic Algorithms and their Applications //IEEE Signal Processing Magazine.- 1996.- Nov.- p. 22-36.

82. von Altrock C. Fuzzy Logic & NeuroFuzzy Applications Explained.-New Jersey:Prentice Hall PTR.- 1995.-350 p.

83. Yager R.R., Filev D.P. Essentials of Fuzzy Modelling and Control.- John Willey & Sons.-1994.- 388 p.

84. Zimmermann H.-J. Fuzzy Sets, Decision Making and Expert Systems.- Kluwer:Dordrecht.-1987.- 335 p.

85. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory - and Its Applications.- Kluwer: Dordrecht.-1991.-315 p.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: